42
правки
Изменения
Т. Вейерштрасса + пример
Лекция от 27 сентября 2010.
=Теорема Вейерштрасса=
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a \uparrow </tex> (<tex> a </tex> ''возрастает''), если <tex> \forall n: a_n \le a_{n+1} </tex>
Последовательность <tex> a \downarrow </tex> (<tex> a </tex> ''убывает''), если <tex> \forall n: a_n \ge a_{n+1} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> ''ограничена'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: |a_n| \le a </tex>
<tex> a_n </tex> - ''ограничена сверху'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le a </tex>
<tex> a_n </tex> - ''ограничена снизу'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le a </tex>
}}
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> a_n \uparrow </tex> и <tex> a_n </tex> ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если <tex> a_n \downarrow </tex>, <tex> a_n </tex> - ограничена снизу).
|proof=
<tex> \exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n </tex>, поскольку <tex> a_n </tex> - ограничена сверху, и <tex> d </tex> - конечен, так как <tex> a_n </tex> - ограничена сверху.
По определению <tex> \sup a_n </tex>:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: d - \varepsilon < a_n </tex>
Так как <tex> a_n \uparrow </tex>, то <tex> \forall n > N: a_n \ge a_N </tex>
<tex> d - \varepsilon < a_n \Rightarrow d - \varepsilon \le a_n \le d + \varepsilon </tex>
Итак: <tex> \forall \varepsilon > 0: \exists N: \forall n > N: |d - a_n| \le \varepsilon \Rightarrow d = \lim a_n </tex>
}}
==Пример==
<tex> a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k} </tex>
<tex> C_n^k = \frac {n!}{k!(n-k)!} = \frac {1}{k!} (n(n-1)(n-2)...(n-k+1)) </tex>
Разделив данное равенство на <tex> n ^ k </tex>, получаем:
<tex> a_n = \sum\limits_{k=0}^n (1 - \frac 0n)(1 - \frac 1n)...(1-\frac {k-1}{n}) \qquad {(*)} </tex>
<tex> a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} (1 - \frac {0}{n+1})(1 - \frac {1}{n+1})...(1-\frac {k-1}{n+1}) </tex>
Сравнивая эти две суммы, можно заметить, что все слагаемые положительны, и каждое текущее слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого 2 суммы, из чего следует, что <tex> a_{n+1} > a_n \Rightarrow a_n \uparrow </tex>
Теперь покажем, что <tex> a_n </tex> ограничена.
<tex> 2 = a_1, a_n \uparrow \Rightarrow \forall n \ge 1: a_n \ge 2 </tex>
Если вернуться к <tex> (*) </tex>, то видно, что все скобки не превосходят 1:
<tex> a_n < \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{k!} </tex>
Пользуясь неравенством <tex> k! > 2 ^ {k - 1} </tex>, получаем:
<tex> a_n < \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n (\frac 12)^{k-1} < 1 + 1 + 1 = 3</tex> (по формуле геометрической прогрессии: <tex> \sum\limits_{i=1}^n (\frac 12)^k < 1 </tex>).
<tex> 2 < a_n < 3 \Rightarrow </tex> По теореме Вейерштрасса, <tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>. Также только что мы показали, что <tex> 2 < e < 3 </tex>.
=Теорема Вейерштрасса=
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a \uparrow </tex> (<tex> a </tex> ''возрастает''), если <tex> \forall n: a_n \le a_{n+1} </tex>
Последовательность <tex> a \downarrow </tex> (<tex> a </tex> ''убывает''), если <tex> \forall n: a_n \ge a_{n+1} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> ''ограничена'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: |a_n| \le a </tex>
<tex> a_n </tex> - ''ограничена сверху'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le a </tex>
<tex> a_n </tex> - ''ограничена снизу'', если <tex> \exists a \in \mathbb R: a_n \le a </tex>
}}
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> a_n \uparrow </tex> и <tex> a_n </tex> ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если <tex> a_n \downarrow </tex>, <tex> a_n </tex> - ограничена снизу).
|proof=
<tex> \exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n </tex>, поскольку <tex> a_n </tex> - ограничена сверху, и <tex> d </tex> - конечен, так как <tex> a_n </tex> - ограничена сверху.
По определению <tex> \sup a_n </tex>:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: d - \varepsilon < a_n </tex>
Так как <tex> a_n \uparrow </tex>, то <tex> \forall n > N: a_n \ge a_N </tex>
<tex> d - \varepsilon < a_n \Rightarrow d - \varepsilon \le a_n \le d + \varepsilon </tex>
Итак: <tex> \forall \varepsilon > 0: \exists N: \forall n > N: |d - a_n| \le \varepsilon \Rightarrow d = \lim a_n </tex>
}}
==Пример==
<tex> a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k} </tex>
<tex> C_n^k = \frac {n!}{k!(n-k)!} = \frac {1}{k!} (n(n-1)(n-2)...(n-k+1)) </tex>
Разделив данное равенство на <tex> n ^ k </tex>, получаем:
<tex> a_n = \sum\limits_{k=0}^n (1 - \frac 0n)(1 - \frac 1n)...(1-\frac {k-1}{n}) \qquad {(*)} </tex>
<tex> a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} (1 - \frac {0}{n+1})(1 - \frac {1}{n+1})...(1-\frac {k-1}{n+1}) </tex>
Сравнивая эти две суммы, можно заметить, что все слагаемые положительны, и каждое текущее слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого 2 суммы, из чего следует, что <tex> a_{n+1} > a_n \Rightarrow a_n \uparrow </tex>
Теперь покажем, что <tex> a_n </tex> ограничена.
<tex> 2 = a_1, a_n \uparrow \Rightarrow \forall n \ge 1: a_n \ge 2 </tex>
Если вернуться к <tex> (*) </tex>, то видно, что все скобки не превосходят 1:
<tex> a_n < \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{k!} </tex>
Пользуясь неравенством <tex> k! > 2 ^ {k - 1} </tex>, получаем:
<tex> a_n < \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n (\frac 12)^{k-1} < 1 + 1 + 1 = 3</tex> (по формуле геометрической прогрессии: <tex> \sum\limits_{i=1}^n (\frac 12)^k < 1 </tex>).
<tex> 2 < a_n < 3 \Rightarrow </tex> По теореме Вейерштрасса, <tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>. Также только что мы показали, что <tex> 2 < e < 3 </tex>.
