Изменения
→Локальный критерий Делоне
}}
{{Утверждение
|id=krit_dol1
|statement=Пусть имеются два треугольника на сфере: <tex>ABC</tex> и <tex>ABD</tex> и точка <tex>E</tex>, находящаяся над плоскостью <tex>ABC</tex>. Точка <tex>D</tex> находится ниже плоскости <tex>ABC</tex>. Сечение построенной на ребре <tex>AB</tex> и точке <tex>O</tex> делит сферу на две полусферы. Если полусфера, не содержащяя треугольник <tex>ABC</tex>, содержит точки <tex>E</tex> и <tex>D</tex>, то точка <tex>E</tex> лежит надо плоскостью <tex>ABD</tex>.
|proof=
Факт очевиден.
}}
{{Утверждение
|id=krit_dol1
[[Файл:dol1.png|400px|thumb|right|]]
Из глобального в локальный очевидно.
Из локального в глобальный:
За <tex>AB</tex> мы обозначили ребро, из которого видна точка <tex>E</tex>, т.е такое ребро, что если провести сечение через точки <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>O</tex> (центр окружности), то точка <tex>E</tex> содержится в полусфере, не содержащей треугольник <tex>ABC</tex>.
Так как точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABC</tex>, а точка <tex>D</tex> под плоскостью <tex>ABC</tex>, то точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABD</tex>.(с учетом того, что они лежат в одной полусфере, ребро AB общее и отделяет треугольник <tex>ABC</tex> от полусферы) [Это очевидно](по утверждению выше)
Посмотрим, существует ли у треугольника <tex>ABD</tex> смежный треугольник, содержащий вершину <tex>E</tex>:
#Если он существует, то локальный критерий для треугольника <tex>ADE</tex> не выполняется. Противоречие.
#Если он не существует, то точка <tex>E</tex> так же будет лежать "над" каким-то смежным с <tex>ABD</tex> треугольником(, так как треугольник для треугольника <tex>ABD</tex> лежит в той будут выполняться те же полусфереусловия, что и для <tex>EABC</tex>). Перейдем к такому треугольнику и повторим шаг.
Заметим, что наш процесс есть локализация. Мы пустили луч (в ту сторону, где видим точку <tex>E</tex>) из исходного треугольника и идём вдоль него. В какой-то момент мы окажемся рядом с треугольником <tex>XYZ</tex>, для которого точка E выше плоскости, построенной на его трех точках, и в тоже время вершина E содержится в соседнем треугольнике, что нарушает локальный критерий. Противоречие.
Значит глобальный критерий Делоне выполняется.
