264
правки
Изменения
м
}}
{{Утверждение
|id=krit_dol3
|statement=
Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.
|proof=
[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]
Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.
Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция <tex>\implies</tex> точек в тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.
}}
Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.
{{Лемма
|about=4
|id=fliplemmasphere
|statement=
Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.
|proof=
→Критерии Делоне для ребер
Из глобального в локальный очевидно, докажем обратно.
Предположим противное, то есть найдётся такая плоскость, что вершины треугольников при ребре <tex>AB</tex> лежат под ней, но существует какая-то вершина <tex>F</tex> над ней. Проведём окружность с центром в сфере через <tex>AB</tex> и выберем треугольник лежащий в одной полусфере с точкой <tex>F</tex>, назовём его <tex>ABC</tex>. Точка <tex>F</tex> лежит над плоскостью <tex>ABC</tex> <tex>\implies</tex> <tex>F</tex> лежит внутри окружности около <tex>ABC</tex>. Возьмем треугольника при ребре, в чьем сегменте оказалась точка <tex>F</tex> и назовем его <tex>ABC</tex>. Если не существует смежный с ним треугольник при вершине <tex>F</tex>, то повторим итерацию, иначе противоречие с локальным критерием Делоне.
}}
