23
правки
Изменения
→Проверка местоположения точки относительно окружности описанной около треугольника.
|statement=Пусть даны точки <tex>P</tex>, <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> на сфере с центром <tex>O</tex>, тогда <tex>P</tex> принадлежит треугольнику <tex>ABC</tex>, тогда и только тогда, когда поворот <tex>P</tex> относительно плоскостей <tex>AOB</tex>, <tex>BOC</tex>, <tex>COA</tex> одинаковый.
}}
====Проверка местоположения точки относительно окружности описанной около треугольника====[[Файл:1st pred dol ph.png|right]] Рассмотрим <tex> \triangle ABC </tex> и некоторую точку <tex> D </tex>, все точки лежат на сфере. Задача состоит в том чтобы проверить, где лежит точка <tex> D </tex> относительно окружности описанной около <tex> \triangle ABC </tex>. Заметим, что 3 точки задают плоскость, которая пересекает сферу, образует окружность описанную около <tex> \triangle ABC </tex> и все точки на сфере, что лежат внутри окружности будут находится над плоскостью.Переформулируем задачу, мы будем искать положение точки <tex> D </tex> относительно плоскости <tex> \triangle ABС </tex>. Заметим, что если угол между нормалью <tex> \triangle ABC </tex> и вектором <tex> AD < 90 </tex>, то точка лежит над плоскостью, если <tex> = 90 </tex>, то на плоскости, а если <tex> > 90 </tex>, то снизу. Это означает, найдя скалярное произведение этих векторов мы определим положение точки относительно описанной окружности. Т к нам важен только знак скалярного произведения, то <tex> \vec{n}_{ABC} </tex> можно не нормировать. <tex> \vec{n}_{ABC} = (B - A) \times (C - A) </tex> <tex> k = \vec{n}_{ABC} \cdot (D - A) = ((B - A),(C - A),(D - A)) =\begin{vmatrix} B - A \\ C - A \\ D - A \end{vmatrix} =</tex><tex> =\begin{vmatrix} B & 1 \\ C & 1 \\ D & 1 \\ A & 1 \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} A & 1 \\ B & 1 \\ C & 1 \\ D & 1 \end{vmatrix} </tex>
===Вставка точки===
