Изменения

'''База:''':Базисом является высота <tex>1</tex>, наименьшая из возможных для дерева разбора с терминальной кроной. :Поскольку это дерево является деревом разбора, <tex>A \rightarrow \omega</tex> должно быть продукцией. Таким образом, <tex>A \Rightarrow_{lm} \omega</tex> есть одношаговое левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.

'''ИндукцияИндукционный переход:''':Существует корень с отметкой <tex>A</tex> и сыновьями, отмеченными слева направо <tex>X_1X_2 \dots X_k</tex>. Символы <tex>X</tex> могут быть как терминалами, так и переменными.:# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то определим <tex>\omega_i</tex> как цепочку, состоящую из одного <tex>X_i</tex>.:# Если <tex>X_i</tex> — переменная, то она должна быть корнем некоторого поддерева с терминальной кроной, которую обозначим <tex>\omega_i</tex>. Заметим, что в этом случае высота поддерева меньше <tex>n</tex>, поэтому к нему применимо предположение индукции. Следовательно, существует левое порождение <tex>X_i \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_i</tex>.

'''База:''':Если <tex>\omega=\varepsilon</tex>, то оно выводится только по второму правилу <tex>\Rightarrow</tex> для него существует единственное дерево разбора.

'''ПереходИндукционный переход:''':Пусть <tex>\left\vert \omega \right\vert=n</tex> и <tex>\forall \upsilon</tex>: <tex>\left\vert \upsilon \right\vert < n</tex> и <tex>\upsilon</tex> {{---}} правильная скобочная последовательность <tex>\exists!</tex> дерево разбора.

:Найдем в слове <tex>\omega</tex> минимальный индекс <tex>i \neq 0</tex> такой, что слово <tex>\omega[0..i]</tex> является правильной скобочной последовательностью. Так как <tex>i \neq 0</tex> минимальный, то <tex>\omega[0..i]=(\alpha)</tex>. Из того, что <tex>\omega</tex> является правильной скобочной последовательностью <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta=\omega[i+1..n-1]</tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, при этом <tex>\left\vert \alpha \right\vert<n</tex> и <tex>\left\vert \beta \right\vert<n \Rightarrow</tex> по индукционному предположению предположению у <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> существуют единственные деревья разбора.

:Если мы покажем, что из части <tex>(S)</tex> первого правила можно вывести только слово <tex>(\alpha)</tex>, то утверждение будет доказано (так как из первой части первого правила выводится <tex>\alpha</tex>, а из второй только <tex>\beta</tex> и для каждого из них по предположению существуют единственные деревья разбора).

:Пусть из <tex>(S)</tex> была выведена часть слова <tex>\omega[0..j]=(\gamma)</tex>, где <tex>j < i</tex>, при этом <tex>\gamma</tex> является правильной скобочной последовательностью, но тогда как минимальный индекс мы должны были выбрать <tex>j</tex>, а не <tex>i</tex> {{---}} противоречие.

:Аналогично из <tex>(S)</tex> не может быть выведена часть слова <tex>\omega[0..j]</tex>, где <tex>j > i</tex>, потому что тогда <tex>\omega[0..i]=(\alpha)</tex> не будет правильной скобочной последовательностью, так как в позиции <tex>i-1</tex> баланс скобок будет отрицательный.

:Значит, из <tex>(S)</tex> была выведена часть слова <tex>\omega[0..i] \Rightarrow \omega</tex> имеет единственное дерево разбора <tex>\Rightarrow</tex> данная грамматика однозначная.