Изменения

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... \ldots, x_n) = x_i</tex>

<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}} подстановка.</li>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1,...\ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...\ldots, x_m), ... \ldots \mathrm{g_n}(x_1,...\ldots, x_m))</tex>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...\ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...\ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...\ldots, x_n,y-1)) & y > 0

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...\ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.

'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил <tex>1</tex>{{---}}<tex>5</tex>.

Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью .{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'' ) {{- --}} функция, определенная для всех возможных входных данных).}}

Выразим сначала <tex> \textbf 0^{1 }(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1}(,y) = \textbf 0 mathrm{Z}(y) </tex>

Теперь выразим вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex> \textbf 0^n </tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.

====Константа <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \textbf 0 M </tex>====

====Константа <tex> \textbf M </tex>===(x) = Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> underbrace{\mathrm{N}(\textbfldots (\mathrm{N}}_{ \text{M-1раз} }(\mathrm{Z}(x)))) </tex>

\end{array}\right. </tex>

<tex>\mathrm{R}(x, y) =\left\{\begin{array} {ll}

\mathrm{N}(\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex>

<tex>\mathrm{sum}(x, y) =\left\{\begin{array} {ll}

<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

==== IF Условный оператор ====

<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = x </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением значение функции равны каким то ,нас не интересными для насинтересует, числамии можно определить её как угодно.

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

<tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===

*<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.

*<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.