264
правки
Изменения
→ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА
Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:
<tex>A = \begin{pmatrix} \overrightarrow{Oa_1 } - \overrightarrow{Op } \\\ overrightarrow{Oa_2 } - \overrightarrow{Op} \\ \dots \\ \overrightarrow{Oa_d } - \overrightarrow{Op } \end{pmatrix}^ \intercal =
\begin{pmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p\\ \dots \\ a_d - p \end{pmatrix}^ \intercal =
\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{pmatrix}^ \intercal</tex>
|proof=
Плоскость <tex>g</tex> определяется замыканием набора <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex> ЛНЗ точек, значит, если <tex>p</tex> принадлежит множеству, то <tex>p</tex> является линейной комбинацией этих точек. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице <tex>A</tex>, значит, ее определитель будет ноль.
}}
Разобъем все точки пространства(кроме тех, что лежат на плоскости) на два множества в зависимости от того, какой знак для них будет иметь детерминант <tex>A</tex>. Покажем, что наша классификация осмысленна.
{{Лемма
|id= pConvex
|statement= Получившиеся множества будут выпуклыми.
|proof= По определению выпуклого множества. Возьмем две любые точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащие в одной области. По аксиоматике существует вектор <tex>\overrightarrow{p_1p_2}</tex> и по определению можно сделать линейную комбинацию. Значит можем получить любую точку между <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащую с ними на одной прямой, отложив от <tex>p_1</tex> вектор <tex>\alpha \overrightarrow{p_1p_2}</tex>, где <tex>\alpha \in [0..1]</tex>. Если подставить это в определитель, то получим
<tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 + \alpha\overrightarrow{p_1p_2} & 1 \end{vmatrix} =
\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ \alpha p_2 + (1 - \alpha)p_1 & 1 \end{vmatrix} =
\alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_2 & 1 \end{vmatrix} +
(1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 & 1 \end{vmatrix} </tex>
Матрицы одинакового знака, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит, у нашей точки будет тот же знак определителя, что и у <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>.
}}
==ОБЪЕМ==
