Изменения

==Вычисление поворотаОбщий случай=====Матрица поворота===У нас есть гиперплоскость Объём в <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>dn</tex> -мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно независимых(ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творческиопределяется аналогично трехмерному случаю. {{Определение |definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимымОбъем'''{{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, если мы можем выбрать одну такая, что:# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);# Если одна фигура состоит из нихдвух, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ векторто её объем равен сумме объемов её частей.

Возьмем ===Переход из одной системы координат в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>другую===Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_dПоскольку объем не инвариантен, p</tex> тоже будет ЛНЗон изменится.

{{Теорема |about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле|statement= Пусть у нас есть какаяданы две <tex>n</tex>-то выделенная зарание система координат мерные области: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>x_1 x_2\dots x_n</tex>Cи <tex>(\Delta)</tex>в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>, ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкой или кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Эта система приходит обычно вместе Между ними с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.помощью формул

Мы знаем, что можно составить матрицу перехода, если умеем выразить координаты векторов в исходной базовой системе координат <tex>C</tex>.А в нашем случае мы это сделать \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots, конечно\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек\xi_2, просто сопредставим нашим точкам вектора\dots, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.\xi_n); \\ \dotfill \\Значит x_n = x_n(\xi_1,\xi_2, если нам известны координаты точек\dots, то нам известны координаты векторов в ситеме <tex>C\xi_n); \end{cases}</tex>.Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом<tex>A J = \begin{pmatrixvmatrix} \overrightarrowdfrac{Oa_1\partial x_1} - {\overrightarrowpartial \xi_1} & \dfrac{Op\partial x_2} {\partial \xi_1} & \ cdots & \overrightarrowdfrac{Oa_2\partial x_n} - {\overrightarrowpartial \xi_1} \\ \dfrac{\partial x_1}{Op\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\ partial \dots xi_2} & \cdots &\ dfrac{\overrightarrowpartial x_n}{Oa_d\partial \xi_2} - \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\overrightarrowpartial x_1}{Op\partial \xi_n} & \enddfrac{pmatrix\partial x_2}^ {\partial \intercal =xi_n} & \cdots &\begindfrac{pmatrix\partial x_n} a_1 - p {\partial \ a_2 - p\xi_n}\ end{vmatrix}</tex>, интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1, x_2, \dots , x_n)</tex> может быть преобразован по формуле<tex>\displaystyle \ a_d - p idotsint\endlimits_{pmatrix(D)}^ f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \intercal mathrm dx_n =\beginidotsint\limits_{pmatrix(\Delta)} a_1 & 1 f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \ a_2 & 1dots, x_n(\xi_1,\ xi_2,\dots ,\xi_n))|J|\ a_d & 1 mathrm d\xi_1\ p & 1 dots \end{pmatrix}^ mathrm d\intercalxi_n </tex>.

Плоскость Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца<texref>g</tex> определяется замыканием набора <tex>a_1Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, a_2том 3, \dots, a_d</tex> ЛНЗ точек, значит, если <tex>p</tex> принадлежит множеству, то <tex>p</tex> является линейной комбинацией этих точек2003 г. {{---}} 440 c. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице <tex>A</texref>, значит, ее определитель будет ноль.

===Вычисление объема=== Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл <tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 + displaystyle \alphaidotsint\overrightarrowlimits_{p_1p_2} & 1 \endmathbb{vmatrixR} = \begin{vmatrix^n} a_1 & 1 \chi(x_1, \ a_2 & 1\dots, x_n)\ mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>, где <tex>\ a_d & 1 \\ \alpha p_2 + chi(1 - x_1, \alphadots, x_n)p_1 & 1 \end{vmatrix} </tex> – характеристическая функция геометрического образа тела. ==Вычисление объема простых фигур=====Параллелепипед=== Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\alpha {\beginvec{vmatrixa_i} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_2 & 1 \end}_{vmatrixi=0} +^n</math>,<math>\chi(1 - x_1, \alphadots, x_n) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 & 1 \end{vmatrix} </texmath>— его характеристическая функция.Матрицы одинакового знака, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит, у нашей точки будет тот же знак определителя, что и у Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <texmath>p_1p</texmath> и ,а затем заменим базис на <texmath>p_2\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</texmath>.}}Хорошая леммаВ новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0, пользоваться мы ей, конечно, не будем1\right]^n</math>.

Проблема в том<math> \displaystylex_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{, что нужно показать}\\\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1\end{vmatrix} \text{, что любая непрерывная кривая не может пройти из точки одного множества в точку другого множества не пересекая плоскость.}\\Но для этого нам необходимо понятие непрерывности\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, а непрерывность связана с топологией. А у нас есть только афинное пространство\dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n= \idotsint\limits_{\left[0, но нет топологии1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}Пример с Парижской железнодорожной метрикой. '''TOTO'''</math>

Можно было бы воспользоваться аналогом леммы Жордана о том, что любая замкнутая кривая без самопересечений делит == См. также==* [[Аффинное пространство на две области, но у нас нет области, потому что понятие области связано с топологией.]]