113
правок
Изменения
→Определение
Пространство с аффинной структурой и есть аффинное пространство.
==ОпределениеОпределения==
{{Определение
|definition='''Аффинное пространство''' – это либо вырожденное пустое множество, либо кортеж <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, состоящий из непустого множества точек <math>A</math>, векторного пространства <math>V</math> и действия <math>(+) : A \times V \rightarrow A</math>, удовлетворяющего следующим свойствам:
# <math>\forall a \in A, v \in V \ \exists ! b \in A : (b - a) = v</math>;
# <math>\forall a, b, c \in A : (b - a) + (c - b) = (c - a)</math>.
Далее для удобства будем пользоваться вторым вариантом записи.
В векторном пространстве мы часто пользовались линейными комбинациями.
Давайте введём похожее определение для аффинного пространства.
Пусть у нас есть множество точек <math>\{a_i\}_{i=1}^n</math> из <math>A</math>
и такое множество скаляров <math>\{\lambda_i\}_{i=1}^n</math>, что <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1</math>.
Теперь давайте перебирать точки начала отсчёта <math>x \in A</math>,
и считать суммы <math>x + \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \overrightarrow{xa_i}</math>.
Несложно показать, что
<math>\displaystyle \forall x, y \in A :
x + \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \overrightarrow{xa_i} =
y + \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \overrightarrow{ya_i}</math>.
То есть, какую бы точку мы не взяли за начало отсчёта, результат мы будем получать один и тот же.
{{Определение
|definition=Для любого набора точек <math>\{a_i\}_{i=1}^n</math> из <math>A</math> и такого набора скаляров <math>\{\lambda_i\}_{i=1}^n</math>, что <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1</math>, точка
<math>\displaystyle p = x + \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \overrightarrow{xa_i}</math>,
не зависящая от выбора <math>x \in A</math>, называется '''барицентром''' (или ''барицентрической комбинацией'', или ''аффинной комбинацией'') точек <math>\{a_i\}_{i=1}^n</math> с весами <math>\{\lambda_i\}_{i=1}^n</math>, и обозначается как
<math>\displaystyle p = \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i</math>.
}}
==Базисы==
