test== Введение ==Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.Пока в конспекте есть недочеты.=== Определение ==={{Определение|definition=<b>Двойственным пространством</b> называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>. }}Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) = ax - b + cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(-a, b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)для прямой, как точку в двойственном пространстве. {{Утверждение|statement=Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.|proof=Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (-a, b, c), \: cp_y = ap_x - b\}</tex>.Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex> из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.}} {{Теорема|statement=пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:# <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex># <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>|proof=TODO}}{{Утверждение|statement=отрезок <tex>pq</tex> переходит вот в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \left<p^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \vee \left<p^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \leqslant 0\right\}</tex>,где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.|proof= TODO}}
