403
правки
Изменения
Добавлена статья. Её нужно доделать
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
= ПРОЧИТАТЬ И ДОРАБОТАТЬ =
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) \leq M</tex>. Тогда <tex>\exists \gamma \in [m; M]: \ \gamma = \frac1{b - a} \int\limits_a^b f</tex>
|proof=
По условию <tex>f \in [m; M]</tex>. Это то же самое, что <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем обе три части.
<tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>.
Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.
<tex>m \leq \frac1{b - a}\int\limits_a^b f \leq M</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: \ \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
|proof=
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b \in [m; M]</tex>. Значит, соответствующее <tex>c</tex> найдётся.
}}
{{Определение
|definition=
Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
Это называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.
}}
== Свойства ==
=== Свойство 1 ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>F</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>.
|proof
<tex>f</tex> {{---}} ограничена, значит, <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.
<tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = </tex> <tex>\left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| = </tex> <tex>M |\Delta x| \Rightarrow</tex> <tex>F</tex> {{---}} непрерывна.
}}
=== Теорема Барроу ===
{{Теорема
|author=Барроу
|statement=
Пусть <tex>F \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>
Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>f(x_0)</tex>.
|proof=
<tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> (в силу непрерывости в <tex>x_0</tex>)
<tex>: |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
По первому утверждению получаем:
<tex>\Delta x > 0: \quad f(x_0) - \varepsilon \leq \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f \leq f(x_0) + \varepsilon</tex>
Так как <tex>\varepsilon \to 0</tex>, <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
}}
==== Следствие ====
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
|proof=
<tex>F(x) = \int\limits_a^x f \Rightarrow F'(x) = f(x)</tex>
В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(x) =f(x)</tex> {{---}} одна из первообразных.
Значит, неопределённый интеграл существует.
}}
== Формула Ньютона-Лейбница ==
{{Теорема
|about=формула Ньютона-Лейбница
|statement=
Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
|proof=
Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f = </tex> (пределу интегральных сумм)
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то в каждой скобке применим формулу Лагранжа:
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
}}
=== Следствие ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
|proof=
Применяя формулу Ньютона-Лейбница:
1. Интегрируя по частям определённого интеграла({{TODO|t=кто вообще додумался такое сказать? я не знаю, что должно тут быть...}})
<tex>\int\limits_a^b u(x)d x v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x d d(x))</tex>
2. <tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \phi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex>
<tex>\phi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \phi(t_1)</tex>, <tex>a = \phi(t_2)</tex> ({{TODO|t=тут проверить и исправить}})
Существует интеграл <tex>\phi(t) = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phi(t)) \phi'(t) d t</tex>
Монотонность <tex>\phi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл(число).
Пусть выполняются все условия для этой формулы.({{TODO|t=что за бреееед????}}) Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
<tex>f</tex> {{---}} непрерывна. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
<tex>G(t) = F(\phi(t))</tex>
<tex>G'(t) = F'(x) \phi'(t) = f(\phi(t)) \phi'(t)</tex>
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phi(t)) \phi'(t) dt = </tex> <tex>G(t_2) - G(t_1) =</tex> <tex>F(\phi(t_2)) - F(\phi(t_1)) = </tex> <tex>F(b) - F(a)</tex>
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
}}
