Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) \leq M</tex>. Тогда <tex>\exists \gamma \in [m; M]: \ \gamma = leq \frac1{b - a} \int\limits_a^b f\leq M</tex>
|proof=
По условию <tex>f \in [m; M]</tex>. Это то же самое, что <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем обе три части. каждую часть:
<tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: \ f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
|proof=
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b \in [m; M]</tex>. Значит, соответствующее и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.
}}
|definition=
Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
}}
