403
правки
Изменения
Добавлена статья. вроде всё не так плохо, как обычно
{{В разработке}}
Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>a = +\infty</tex>.
== Некоторые определения ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>a</tex> {{---}} конечно, <tex>b = +\infty</tex>, <tex>\forall A \geq a: \ f \in \mathcal{R}(a, A)</tex>.
Тогда определим <tex>\int\limits_a^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A f(x)dx</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Если предел конечен, то такой интеграл называют сходящимся.
}}
Аналогично определяется <tex>\int\limits_{-\infty}^b</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{a \to +\infty} \int\limits_{-a}^0 + \int\limits_0^a</tex>.
При этом, <tex>\int\limits_{-a}^0</tex> и <tex>\int\limits_0^a</tex> должны сходиться.
}}
== Критерий Коши существования несобственного интеграла ==
Пусть <tex>F(A) = \int\limits_a^A f(x) dx</tex>. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла:
<tex>\int\limits_a^{+\infty}</tex> сходится <tex>\iff \lim\limits_{A, B \to +\infty} \int\limits_A^B f(x)dx = 0</tex>.
== Знакопостоянная функция ==
Рассмотрим важный частным случай {{---}} подынтегральная функция неотрицательна.
Специфика этого случая в том, что все такие интегрируемые функции разбиваются на два класса: сходящиеся(<tex>\lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A < +\infty</tex>) и расходящиеся(<tex>\lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A = +\infty</tex>).
При исследовании таких функции применяют принцип сравнения.
{{Определение
|definition=
Интегралы <tex>\int\limits_0^{+\infty} f</tex> и <tex>\int\limits_0^{+\infty} g</tex> равносходятся, если выполнено одно из следующих условий:
# Оба интеграла сходятся.
# Оба интеграла расходятся.
Также записывают <tex>\int\limits_a^{+\infty} f \sim \int\limits_a^{+\infty} g</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
1. Пусть <tex>0 \leq f(x) \leq g(x)</tex>, <tex>x \geq a</tex>, <tex>g</tex> {{---}} сходящаяся. Тогда <tex>f</tex> {{---}} тоже сходящаяся.<br/>
2. Пусть <tex>\frac{g(x)}{f(x)} \to q</tex>, <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex>. Тогда <tex>f</tex> и <tex>g</tex> равносходятся.
|proof=
1. Пусть <tex>0 \leq f(x) \leq g(x)</tex>. Тогда <tex>\int\limits_a^A f \leq \int\limits_a^A g</tex>. В силу сходимости интеграла <tex>g</tex>, <tex>\int\limits_0^A g \leq M</tex>. Тогда <tex>\int\limits_a^A f \leq M</tex>. Значит, он ограничен, и интеграл сходится.
2. В силу наложенных на функции условий, <tex>q > 0</tex>. Возьмём <tex>\varepsilon = q/2</tex>.
<tex>\exists A_0\ \forall x > A_0:\ q - \varepsilon \leq \frac{g(x)}{f(x)} \leq q + \varepsilon</tex>. Подставим <tex>\varepsilon</tex> и домножим на большее нуля <tex>f(x)</tex>.
<tex>\frac12qf(x) \leq g(x) \leq \frac32qf(x)</tex>.
Тогда, по первому пункту этого утверждения, так как неравенство двойное, требуемое доказано.
}}
Наиболее часто интеграл функции пытаются сравнивать с интегралом вида
<tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac1{x^p} dx =
\left\{\begin{aligned}
\ln x, & \quad p = 1\\
\frac1{1-p} \frac1{x^{p - 1}}, & \quad p \ne 1\\
\end{aligned}
\right.
</tex>
Он замечателен тем, что <tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac1{x^p} dx</tex> {{---}} сходится <tex>\iff p > 1</tex>.
Ситуация резко усложняется, если рассматривать интегралы незнакопостоянной функции.
== Интеграл Дирихле ==
{{Определение
|definition=
<tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin x}x dx</tex> {{---}} интеграл Дирихле. Он сходится к <tex>\frac\pi2</tex>, однако, мы это пока не умеем доказывать
}}
Заметим, что так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1</tex>, то в нуле никакой внезапной гадости не будет.
Для таких интегралов с незнакопостоянной функцией принята следующая терминология:
{{Определение
|definition=
Если <tex>\int\limits_a^{+\infty} |f(x)| dx</tex> {{---}} сходится, то говорят, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> абслоютно сходится.
}}
{{Утверждение
|statement=
Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится
|proof=
Ну очевидно же...
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex>\int\limits_a^{+\infty} |f|</tex> расходится, но <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> сходится, то говорят, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> {{---}} условно-сходящийся
}}
=== Метод исследования ===
Наибольшие сложности возникают при исследовании условно-сходящихся интегралов. Как правило, данные интегралы исследуются творческим применением формулы интегрирования по частям для определённого интеграла.
Рассмотрим <tex>\int\limits_a^{+\infty} f(x)g(x)dx</tex>.
<tex>\int\limits_A^B f(x)g(x)dx = \int\limits_A^Bf(x)dG(x)</tex>
Применим формулу интегрирования по частям:
<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(B) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
Пусть <tex>f' \leq 0 \Rightarrow f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0</tex>
Пусть <tex>\left|\int\limits_a^A G(x)dx \right| \leq M</tex>
Получаем <tex>\left|\int\limits_A^B\right| \leq</tex>
<tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
Но <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
{{Утверждение
|statement=
Интеграл Дирихле сходится
|proof=
Рассмотрим интеграл Дирихле и положим <tex>f = \frac1x</tex>, <tex>g = \sin x</tex>.
<tex>f' = -\frac1{x^2}</tex>, <tex>\int g(x)dx = -\cos x</tex>. Все условия предыдущих выкладок выполнены, значит, интеграл Дирихле {{---}} сходящийся.
}}
{{Утверждение
|statement=
Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
|proof=
Доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.
Допустим обратное. Пусть этот интеграл сходится.
Так как <tex>|\sin x| \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 x \leq |\sin(x)|</tex>. По принципу сравнения, <tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} dx</tex> {{---}} сходится.
Понизим степень <tex>\sin^2 x</tex>: <tex>\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}2</tex>
Тогда получаем, что <tex>\int\limits_1^A \frac{\sin^2 x}x dx =</tex> <tex>\int\limits_1^A \frac{1 - \cos 2x}{2x} dx = </tex>
<tex>\int\limits_1^A \frac1{2x} dx - \int\limits_1^A\frac{\cos 2x}{2x}dx</tex>.
Заметим, что первое слагаемое расходится(это логарифм), а второе аналогично доказанному выше про <tex>\frac{\sin x}x</tex>, сходится.
Получили, что сходящийся интеграл расходится, то есть, получено противоречие. Значит, интеграл Дирихле сходится лишь условно.
}}
