Изменения

|definition=Два [[Отношение порядка|частично упорядоченных]] множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''изоморфными''' (англ. ''isomorphic''), если между ними существует '''изоморфизм''' (англ. ''isomorphism'') — взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

<br>Более формально, <tex> \exists </tex> биекция <tex> f:A \rightarrow B : \forall \, a_1,a_2 \in A : a_1 \leqslant a_2 \Leftrightarrow f(a_1)\leqslant f(a_1)</tex>

}}

плотным, если в нём нет соседних элементов (то есть между любыми двумя есть третий). </ref> линейно упорядоченных множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны.

|proof=Пусть <tex> A </tex> и <tex> B </tex> — данные множества. Будем строить соответствие пошагово. Пусть мы сделали некоторое соответствие для подмножеств <tex> A_n \subset A </tex> и <tex> B_n \subset B </tex> из <tex> n </tex> элементов. Возьмем любой элемент одного из множеств (для определенности <tex> A </tex>), который не вошел в <tex> A_n </tex>. Посмотрим, в каком отношении он находится со всеми элементами из <tex> A_n </tex>. Он оказался либо наибольшим элементом, либо наименьшим элементом, либо стоящим между некоторыми элементами <tex> a_i </tex> и <tex> a_{i+1} </tex>. Найдем элемент в <tex> B </tex>, находящийся в таком же отношении со всеми элементами <tex> B_n </tex>. Мы можем это сделать, так как <tex> B </tex> — плотное множество без наибольшего и наименьшего элементов. Будем считать эти два элемента эквивалентными. Тогда, мы научились получать из соответствия для <tex> n </tex> элементов соответствие для <tex> n+1 </tex> элемента. Чтобы в пределе получить соответствие для всех элементов, воспользуемся счетностью множеств. Пронумеруем все элементы и на каждом четном шаге будем выбирать еще не взятый элемент из множества <tex> A </tex> с наименьшим номером, а на нечетном — из <tex> B </tex>.

}}