35
правок
Изменения
Нет описания правки
'''''Алгоритм Ху-ТаккераХу–Таккера''''' (англ. ''Hu-Tucker Hu–Tucker Algorithm'') {{---}} алгоритм построения оптимального алфавитного дерева.
''Алфавитное дерево'' {{---}} дерево в котором при просмотре листьев слева направо символы идут в алфавитном порядке, и код последующего лексикографически больше предыдущего.
*при удовлетворенности условия <tex>2</tex>, <tex>\sum\limits_{i \in [1, n]} w_{i}\cdot |c_{i}|</tex> минимальна (<tex>|c_{i}|</tex> — длина кода <tex>c_{i}</tex>)
называется ''алгоритмом Ху-ТаккераХу–Таккера''.
}}
== Алгоритм ==
=== Алгоритм Ху-Таккера Ху–Таккера ===
* Начало.
* '''Шаг 0.''' ''Введем следующие понятия''.
Осталось только назначить код для каждого символа. Это делается аналогично [[Алгоритм Хаффмана|коду Хаффмана]]: левым ребрам назначается <tex>0</tex>, а правым <tex>1</tex>.
== Обоснование алгоритма Ху-Таккера Ху–Таккера ==
Далее последовательностью-впадиной последовательностью–впадиной будем называть последовательность вида <tex>w_{1} > ... > w_{t} < ... < w_{n}</tex>.
Для обоснования воспользуемся несколькими леммами.
|about=1
|statement=
Если последовательность весов монотонно не убывает или монотонно убывает, то стоимости деревьев Хаффмана и Ху-Таккера Ху–Таккера совпадают. Более того, существует дерево Хаффмана, удовлетворяющее требованию алфавитности (см. упражнения к разделу 2.3.4-5 4–5 вт.1 книги Д. Кнута Искусство программирования для ЭВМ).
}}
{{Лемма
|about=2
|statement=
Если последовательность весов является впадиной, то стоимости деревьев Хаффмана и Ху-Таккера Ху–Таккера равны. Более того, существует дерево Хаффмана, удовлетворяющее требованию алфавитности (см. книгу Т.Ч.Ху и М.Т.Шинг Комбинаторные алгоритмы {{---}} леммы 7 и 8 в разделе 5.8).
}}
{{Лемма
|about=3
|statement=
Если последовательность весов является впадиной, то новые вершины, создаваемые в фазе <tex>1</tex> алгоритма Ху-ТаккераХу–Таккера, образуют очередь с монотонно возрастающими весами. Потомки каждой из этих новых вершин могут быть соединены в алфавитное бинарное дерево, удовлетворяющее условию: если <tex>w_{i} \leqslant w_{j}</tex>, то <tex>l_{j} \leqslant l_{i}</tex>.
}}
Заметим, что в последовательности-впадине две наименьших вершины всегда совместимы. Поэтому в алгоритме Хаффмана будут комбинироваться те же пары, что и в фазе <tex>1</tex> алгоритма Ху-ТаккераХу–Таккера. Для удобства введем две вершины алфавита <tex>w_{L}</tex> и <tex>w_{R}</tex> веса <tex>\infty</tex>, расположенных соответственно в начале и в конце последовательности. Тогда последовательность весов <tex>w_{1} < w_{2} < ... < w_{t} > w_{t+1} > ... > w_{n}</tex> можно рассматривать как последовательность состоящую из двух впадин: <tex>w_{L} > w_{1} < w_{2} < ... < w_{t} > w_{t+1} > ... > w_{n} < w_{R}</tex>.
Вершину <tex>t</tex> назовем горой между двумя впадинами.
Из [[#lemma3|леммы 3]] следует, что можно образовать две отдельных [[Очередь | очереди]] {{---}} одну для каждой впадины. Из-за горы вершины из разных впадин не совместимы между собой. Когда наименьшие новые вершины(полученные в результате слияния) во впадинах станут достаточно большими, гора будет наконец скомбинирована. С этого момента все новые вершины станут совместимыми. Получается слияние двух очередей. По существу, фаза <tex>1</tex> в алгоритме Ху-Таккера Ху–Таккера подобна слиянию нескольких очередей, а произвольную последовательность весов можно рассматривать как соединение нескольких впадин.
Чтобы понять, почему последовательность уровней может быть соединена в алфавитное дерево на третьем шаге алгоритма, достаточно рассмотреть два случая:
Заметим, что это лишь обоснование, а не строгое доказательство, его задача {{---}} дать понимание правдивости алгоритма.
== Корректность алгоритма Ху-Таккера Ху–Таккера ==
Как пишет Д. Кнут короткого доказательства алгоритма не известно, и вероятно оно никогда не будет найдено. Для доказательства своего алгоритма Ху и Таккеру потребовалось <tex>3</tex> теоремы и <tex>2</tex> леммы (См. книгу Т.Ч.Ху и М.Т.Шинг Комбинаторные алгоритмы {{---}} стр.172).
== Источники информации ==
* ''Т.Ч.Ху, М.Т.Шинг'' Комбинаторные алгоритмы. — стр. 166. — ISBN 5-85746-761-6
* ''Дональд Кнут'' Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — 824 с. — ISBN 5-8459-0082-4
