Изменения
Нет описания правки
В произвольном двудольном графе мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.
|proof=
Пусть в <tex>G</tex> построено максимальное паросочетание. Ориентируем ребра паросочетания, чтобы они шли из правой доли в левую, ребра не из паросочетания --- так, чтобы они шли из левой доли в правую. Запустим обход в глубину из всех не насыщенных паросочетанием вершин левой доли. Разобьем вершины каждой доли графа на два множества: те, которые были посещены в процессе обхода, и те, которые не были посещены в процессе обхода.
Тогда <tex>L = L_+ \cup L_-</tex>, <tex>R = R_+ \cup R_-</tex>, где <tex>L, R</tex> --- правая и левая доли соответственно, <tex>L_+, R_+</tex> --- вершины правой и левой доли, посещенные обходом, <tex>L_-, R_-</tex> --- не посещенные обходом вершины.
Тогда в <tex>G</tex> могут быть следующие ребра:
*Из вершин <tex>L_+</tex> в вершины <tex>R_+</tex> и из вершин <tex>R_+</tex> в вершины <tex>L_+</tex>.
*Из вершин <tex>L_-</tex> в вершины <tex>R_-</tex> и из вершин <tex>R_-</tex> в вершины <tex>L_-</tex>.
*Из вершин <tex>L_-</tex> в вершины <tex>R_+</tex>.
Очевидно, что ребер из <tex>L_+</tex> в <tex>R_-</tex> и из из <tex>R_+</tex> в <tex>L_-</tex> быть не может.
Ребер из из <tex>R_-</tex> в <tex>L_+</tex> быть не может, т.к. если такое ребро <tex>uv</tex> существует, то оно --- ребро паросочетания. Тогда вершина <tex>v</tex> насыщена паросочетанием. Но т.к. <tex>v \in L_+</tex>, то в нее можно дойти из какой-то ненасыщенной вершины левой доли. Значит, существует ребро <tex>wv, w \in R_+</tex>. Но тогда <tex>v</tex> инцидентны два ребра из паросочетания. Противоречие.
Заметим, что минимальным вершинным покрытием <tex>G</tex> является либо <tex>L</tex>, либо <tex>R</tex>, либо <tex>L_- \cup R_+</tex>.
В <tex>R_+</tex> не насыщенных паросочетанием вершин быть не может, т.к. иначе в <tex>G</tex> существует дополняющая цепь, что противоречит максимальности построенного паросочетания.
В <tex>L_-</tex> свободных вершин быть не может, т.к. все они должны находиться в <tex>L_+</tex>. Тогда т.к. ребер из паросочетания между <tex>R_+</tex>
и <tex>L_-</tex> нет, то каждому ребру <tex>MM</tex> инцидентна ровно одна вершина из <tex>L_- \cup R_+</tex>.
Тогда <tex>|L_- \cup R_+| = |MM| \le min(|L|, |R|)</tex>. Значит, <tex>|MVC| = |MM|</tex>.
}}
[[Файл:Matching.jpg|thumb|right|Пример максимального паросочетания]]
