Изменения
→См. также
==ОпределенияМинимальное вершинное покрытие==
{{Определение|definition=
}}
{{Определение|definition=
}}
[[Файл:Cover.jpg|left|thumb|300px|Множество вершин красного цвета — минимальное вершинное покрытие.]]
<br clear="all"/>
===Теорема о мощности минимального вершинного покрытия и максимального паросочетания===
{{Определение|definition=
}}
В произвольном двудольном графе мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.
|proof=
Пусть в <tex>G</tex> построено максимальное паросочетание. Ориентируем ребра паросочетания, чтобы они шли из правой доли в левую, ребра не из паросочетания --- — так, чтобы они шли из левой доли в правую. Запустим [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обход в глубину ]] из всех не насыщенных паросочетанием вершин левой доли. Разобьем вершины каждой доли графа на два множества: те, которые были посещены в процессе обхода, и те, которые не были посещены в процессе обхода.Тогда <tex>L = L_L^+ \cup L_L^-</tex>, <tex>R = R_R^+ \cup R_R^-</tex>, где <tex>L, R</tex> --- — правая и левая доли соответственно, <tex>L_L^+, R_R^+</tex> --- — вершины правой и левой доли, посещенные обходом, <tex>L_L^-, R_R^-</tex> --- — не посещенные обходом вершины.
Тогда в <tex>G</tex> могут быть следующие ребра:
[[Файл:bipartdfs_right.jpg|thumb|center|300px|Доли <tex>L^+, L^-, R^+, R^-</tex> и ребра между ними.]]*Из вершин <tex>L_L^+</tex> в вершины <tex>R_R^+</tex> и из вершин <tex>R_R^+</tex> в вершины <tex>L_L^+</tex>.*Из вершин <tex>L_L^-</tex> в вершины <tex>R_R^-</tex> и из вершин <tex>R_R^-</tex> в вершины <tex>L_L^-</tex>. *Из вершин <tex>L_L^-</tex> в вершины <tex>R^+</tex>. Очевидно, что ребер из <tex>L^+</tex> в <tex>R^-</tex> и из <tex>R^+</tex> в <tex>L^-</tex> быть не может.Ребер из <tex>R^-</tex> в <tex>L^+</tex> быть не может, т.к. если такое ребро <tex>uv</tex> существует, то оно — ребро паросочетания. Тогда вершина <tex>v</tex> насыщена паросочетанием. Но т.к. <tex>v \in L^+</tex>, то в нее можно дойти из какой-то ненасыщенной вершины левой доли. Значит, существует ребро <tex>wv, w \in R^+</tex>. Но тогда <tex>v</tex> инцидентны два ребра из паросочетания. Противоречие. Заметим, что минимальным вершинным покрытием <tex>G</tex> является либо <tex>L</tex>, либо <tex>R</tex>, либо <tex>L^- \cup R^+</tex>.В <tex>R^+</tex> не насыщенных паросочетанием вершин быть не может, т.к. иначе в <tex>G</tex> существует дополняющая цепь, что противоречит максимальности построенного паросочетания.В <tex>L^-</tex> свободных вершин быть не может, т.к. все они должны находиться в <tex>L^+</tex>. Тогда т.к. ребер из паросочетания между <tex>R^+</tex>и <tex>L^-</tex> нет, то каждому ребру максимального паросочетания инцидентна ровно одна вершина из <tex>L^- \cup R^+</tex>. Тогда <tex>|L^- \cup R^+|</tex> равна мощности максимального паросочетания. Множество вершин <tex>L^- \cup R^+</tex> является минимальным вершинным покрытием. Значит мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.}} ===Алгоритм построения минимального вершинного покрытия===Из доказательства предыдущей теоремы следует алгоритм поиска минимального вершинного покрытия графа:#Построить максимальное паросочетание.#Ориентировать ребра:#*Из паросочетания — из правой доли в левую.#*Не из паросочетания — из левой доли в правую.#Запустить обход в глубину из всех свободных вершин левой доли, построить множества <tex>R_L^+,L^-,R^+,R^-</tex>.#В качестве результата взять <tex>L^- \cup R^+</tex>.