65
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
|statement=
Любая конечная группа <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (подгруппе симметрической группегруппы <tex>S_n</tex>).
|proof=
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,...,g_n\}</tex>.Рассмотрим некоторый элемент Для каждого элемента <tex>g \in G</tex> и функцию построим соответствующую перестановку <tex>f_g \in S_n: G </tex><tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... & f_g(g_n) \rightarrow Gend{bmatrix}, </tex> где <tex>f_g(x) = g \circ x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
# Для любых <tex>xa, yb\in G</tex> таких, что <tex>x a \neq yb</tex> верно, что <tex>g \circ x a \neq g \circ yb</tex> <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} инъекция.
# Мощность <tex>G</tex> {{---}} конечна <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} биективно, и является перестановкой.
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} \circ g \circ x = x </tex>.
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
