65
правок
Изменения
Нет описания правки
Так как <tex>G</tex> {{---}} группа, то <tex>g_i \circ g_j =g_k\in G</tex> и <tex>f_{g_i \circ g_j}=f_{g_k}</tex>, откуда <tex>f_{g_i} \circ f_{g_j}\in K</tex>. Значит, <tex>K</tex> {{---}} подгруппа группы <tex>S_n</tex>.
Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим отображение <tex>\varphi : G \rightarrow K,\</tex>, которое переводит элемент <tex>g\in G</tex> в элемент <tex>\varphi(g)=f_{g^\prime}\in K</tex>, где <tex>{g^\prime}</tex> симметричен элементу <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.
Заметим, что
#Отображение <tex>\varphi </tex> взаимно однозначно.
#Для любых <tex>g_i,g_j\in G</tex> верно
<tex>\varphi (g_i \circ g_j) = f_{(g_i \circ g_j)^\prime} = f_{{g}^\prime_i \circ {g}^\prime_j}=f_{{g}^\prime_i}\circ f_{{g}^\prime_j}=\varphi (g_i)\circ \varphi (g_j)</tex>, то есть отображение <tex>T(g)\circ T(h) = T(g \circ h)varphi</tex>сохраняет операцию.
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм. #<tex>T</tex> {{---}} инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x) \circ x^{-1} = f_{g'}(x) \circ x^{-1} = g'</tex>.#Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>. То есть <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм оно является изоморфизмом групп <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
}}
==Примеры==
