1632
правки
Изменения
м
<code>
</code>
rollbackEdits.php mass rollback
==Теорема о рекурсии==
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
{{Теорема
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''functionprogram''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''functionprogram int''' p('''int''' x):
...
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
...
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так. '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' ```$src <font color="green"\(src) >// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():\n <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src\n"```
'''string''' getOtherSrc():
...
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
<code> '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' "\(```$src) <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():\n <nowiki>|</nowiki> return $src\n"```
'''string''' getOtherSrc():
'''return''' "```function p(int y): <nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \"\(```$src) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \n return $src\n\"```</code>
}}
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
Приведем так же альтернативую альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
==Теорема о неподвижной точке==
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
Напишем такую программу:
<tex>p(q){:}</tex>
'''if''' <tex>p. \mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q. \mathrm{getSrc()}</tex>
'''return''' 1
'''else'''
'''while''' ''true''
Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
}}
==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка==
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.
{{Лемма
|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.
|proof=
Предположим обратное, тогда . Тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая , разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следущую следующую программу:<code> <tex> p(x){:}</tex> '''if''' <tex>r(\mathrm{getSrc()})</tex> '''return''' 1 '''while''' ''true''</code>Пусть <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilonvarepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
}}
