80
правок
Изменения
Новая страница: «==Основные определения== {{Определение | definition = Дискретным вероятностным пространством наз…»
==Основные определения==
{{Определение | definition =
Дискретным вероятностным пространством называется пара из некоторого множества <tex>\Omega</tex> и функции <tex>p\colon \Omega \to \mathbb R_+ </tex> ( <tex>\Omega</tex> называется '''множеством элементарных исходов''', <tex>\omega \in \Omega</tex> - '''элементарным исходом'''), такая, что <tex>\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1</tex>.
}}
<tex>p</tex> называют '''дискретной вероятностной мерой''', или '''дискретной плотностью вероятности'''.
<br>
<tex>p(\omega)</tex> - вероятность элементарного исхода.
<br>
{{Определение | definition =
Множество <tex>A \subset \Omega</tex> называется событием.
}}
<tex>p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}</tex>, то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.
<br>
==Примеры вероятностных пространств==
* '''Честная монета'''.
Множество исходов <tex>\Omega = \left\{0,1\right\}</tex>, где 0 - выпадает орел, 1 - выпадает решка. <tex> p(0)=p(1)=0,5.</tex>.
<br>
Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
:
<tex>\varnothing </tex>: <tex> p(\varnothing)=0</tex>. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
:
<tex>\left\{0\right\} </tex>: <tex> p(0)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
:
<tex>\left\{1\right\} </tex>: <tex> p(1)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
:
<tex>\left\{0,1\right\} </tex>: <tex> p(\left\{0,1\right\})=1</tex>. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
*'''Нечестная монета'''.
:
Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако <tex>p(0)=x, p(1) = 1 - x=y</tex>, где <tex>x,y \in \left[ 0,1 \right ]</tex>.
*'''Игральная кость'''.
:
Множество исходов <tex>\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}</tex>. <tex> p(i)= \frac {1}{6}</tex>.
Рассмотрим некоторые события этого пространства.
:
<tex>A=\left\{1,2,3 \right\}</tex> : <tex>p(A)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</tex>. Вероятность выпадения одного из трех чисел - 1, 2, 3 равна одной второй.
:
<tex>B=\left\{2,4 \right\}</tex> : <tex>p(B)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</tex>. Числа 2 или 4 выпадут с вероятностью одна треть.
*'''Колода карт'''.
:
<tex>\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}</tex>. Здесь ''i'' - масть, ''j'' - достоинство карты.
:
Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}</tex>.
:
{{Определение | definition =
Дискретным вероятностным пространством называется пара из некоторого множества <tex>\Omega</tex> и функции <tex>p\colon \Omega \to \mathbb R_+ </tex> ( <tex>\Omega</tex> называется '''множеством элементарных исходов''', <tex>\omega \in \Omega</tex> - '''элементарным исходом'''), такая, что <tex>\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1</tex>.
}}
<tex>p</tex> называют '''дискретной вероятностной мерой''', или '''дискретной плотностью вероятности'''.
<br>
<tex>p(\omega)</tex> - вероятность элементарного исхода.
<br>
{{Определение | definition =
Множество <tex>A \subset \Omega</tex> называется событием.
}}
<tex>p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}</tex>, то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.
<br>
==Примеры вероятностных пространств==
* '''Честная монета'''.
Множество исходов <tex>\Omega = \left\{0,1\right\}</tex>, где 0 - выпадает орел, 1 - выпадает решка. <tex> p(0)=p(1)=0,5.</tex>.
<br>
Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
:
<tex>\varnothing </tex>: <tex> p(\varnothing)=0</tex>. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
:
<tex>\left\{0\right\} </tex>: <tex> p(0)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
:
<tex>\left\{1\right\} </tex>: <tex> p(1)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
:
<tex>\left\{0,1\right\} </tex>: <tex> p(\left\{0,1\right\})=1</tex>. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
*'''Нечестная монета'''.
:
Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако <tex>p(0)=x, p(1) = 1 - x=y</tex>, где <tex>x,y \in \left[ 0,1 \right ]</tex>.
*'''Игральная кость'''.
:
Множество исходов <tex>\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}</tex>. <tex> p(i)= \frac {1}{6}</tex>.
Рассмотрим некоторые события этого пространства.
:
<tex>A=\left\{1,2,3 \right\}</tex> : <tex>p(A)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</tex>. Вероятность выпадения одного из трех чисел - 1, 2, 3 равна одной второй.
:
<tex>B=\left\{2,4 \right\}</tex> : <tex>p(B)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</tex>. Числа 2 или 4 выпадут с вероятностью одна треть.
*'''Колода карт'''.
:
<tex>\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}</tex>. Здесь ''i'' - масть, ''j'' - достоинство карты.
:
Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}</tex>.
:
