403
правки
Изменения
добавлена табличка. НЕНАВИСТЬ!!!!!!!!!!!! внутри теоремы не работают вики-таблицы
Так как множество ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число.
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>. Обозначим это <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)</tex> за <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.
<tex>K_1 = V_{\varepsilon_1} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
<tex>
\begin{tabular}{c|cccc}
$\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\varepsilon_2$ & $x_{2, 1}$ & $x_{2, 2}$ & $x_{2, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\ddots$ \\
\end{tabular}
</tex>
В первой строке бесконечно много элементов <tex>x_n</tex> из <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}}</tex>.
Во второй строке бесконечно много элементов из <tex>\overline{V_{\varepsilon_2}} </tex>.
И так далее.
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>
