Изменения

[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>p</tex> называется '''простым'''(англ. ''prime number''), если <tex>p>1</tex> и <tex>p</tex> не имеет положительных натуральных [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делителей]] , отличных от <tex>1</tex> и <tex>p</tex>.

[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>n>1</tex> называется '''составным'''(англ. ''composite number''), если <tex>n</tex> имеет по крайней мере один положительный натуральный [[Классы_чисел#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5|делитель]] , отличный от <tex>1</tex> и <tex>n</tex>.

|about=свойство 1|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_1p_2</tex> '''не [[Натуральные_и_целые_числаНатуральные числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BCДеление чисел с остатком |делится без остатка]]''' на <tex>p_2p_1</tex>.

Положительными Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex> , и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит , <tex>p_1p_2</tex> не делится на <tex>p_2p_1</tex>.

|about=свойство 2|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный натуральный делитель всегда является '''простым числом'''.

Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, отличные состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex> делители , делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустопустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит , в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.

Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит , <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит , <tex>q</tex> — простое число.

По утверждению <tex>Из свойства 2</tex> мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "[[Решето Эратосфена]]".

Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел <tex>2,3,5, \dots ldots , p</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} последнее, самое большое простое число.

Рассмотрим число <tex>N=2*\times 3*\times 5* \dots *times \ldots \times p +1</tex>. Число <tex>N</tex> представимо в виде <tex>N=2 \times (3 \times 5 \times \ldots \times p) +1,</tex> где <tex>2\,</tex> — делитель, <tex>(3 \times 5 \times \ldots \times p)\,</tex> — частное, <tex>1\,</tex> — остаток, причем <tex>0\leqslant 1 < 2.</tex> Таким образом, при делении <tex>N</tex> на <tex>2</tex> получится остаток <tex>1</tex>, число <tex>N</tex> на простое число <tex>1</tex> не делится.Аналогично <tex>N</tex> не делится ни на числа одно из простых чисел (<tex>23, 35, \dots ldots , p),</tex>. Так так как при делении <tex>N</tex> на эти числа получится остаток <tex>1</tex>.

Значит , число <tex>N=1</tex> (по утв. свойству 2), так как у числа <tex>2N</tex>)нет простых делителей по предположению. C другой стороны , <tex>N>1</tex>. Значит , предположениео том, что множество простых чисел конечно , неверно.

: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \dots ldots </tex> ==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел== {{Теорема|id=th1|statement=Простых чисел бесконечно много.|proof=Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.}} ==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}\frac{1}{n}</tex>== {{Теорема|id=th2|statement=Ряд <tex>\sum_{}\dfrac{1}{n}</tex> расходится.|proof=<tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.}}Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant k} \dfrac{1}{n}</tex>.Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится. ==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>== {{Теорема|id=th3|statement=Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.|proof=Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:<tex> \ln(1+x) \leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.}}

* [[Натуральные и целые числа]]

[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории Теория чисел]]