|statement=
Если <tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = 0</tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> не обязательно являются [[Независимые случайные величины#Определения | независимыми]]
|proof=
Пусть задано [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие#Основные определения | вероятностное пространство]] с четырьмя равновероятными элементарными исходами. Возьмем на этом пространстве следующую [[Дискретная случайная величина | случайную величину]]: <tex> \eta </tex>
<tex> \eta(w_{1}) = -2 </tex>
<tex>\eta(w_{2} ) = -1</tex>
<tex>\eta(w_{3} ) = 1 </tex>
<tex>\eta(w_{4} ) = 2 </tex>
Тогда пусть случайная величная <tex> \xi(w) = \eta ^ {2} (w)</tex>. Эти две величины не являются [[Независимые случайные величины#Определения | независимыми]] (достаточно проверить это при <tex> a = 1 , b = 1 </tex>). Найдем их ковариацию:
<tex>
\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = </tex> <tex>\sum \limits_{i=1}^{4} (\eta(w_{i})\cdot \xi(w_{i}) \cdot p(w_{i})) - (\sum \limits_{j=1}^{4} \eta(w_{i}) \cdot p(w_{i})) \cdot (\sum \limits_{k=1}^{4} \xi(w_{i})\cdot p(w_{i}) ) = </tex>
<tex>= \frac{1}{4} \cdot ( (-2)\cdot4 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot4 ) - \frac{1}{8}\cdot( (-2) + (-1) + 1 + 2 )(4 + 1 + 1 + 4) = 0 </tex>
Как видно <tex> \mathrm{Cov}(\eta, \xi) = 0 </tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> не являются независимыми случайными величинами.
}}
