276
правок
Изменения
Нет описания правки
:<tex>\dots</tex>
:<tex>A(s) = s - s^2 + 2 s^3 + \dots</tex>
==Сдвиги==
===Сдвиг вправо===
Сдвиг ряда вправо на <tex>k</tex> получается домножением его на <tex>s^k</tex>. Например, пусть исходный ряд <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex>. Сдвинем его на <tex>k</tex> вправо: <tex>B(s) = s^k \cdot A(s) = a_0 s^k + a_1 s^{k + 1} + a_2 s^{k + 2} + \dots = 0 + 0 s + 0 s^2 + \dots + a_0 s^k + a_1 s^{k + 1} + \dots</tex>
===Сдвиг влево===
Сдвинуть ряд влево на <tex>k</tex> можно, вычтя из него первые <tex>k</tex> слагаемых и затем разделив его на <tex>s^k</tex>. Например, сдвинем ряд <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> на <tex>k</tex> влево: <tex>B(s) = \dfrac{A(s) - (a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots + a_{k - 1} s^{k - 1}}{s^k} = a_k + a_{k + 1} s + a_{k + 2} s^2 + \dots</tex>.
Сдвиги могут быть полезны для упрощения вычисления производящих функций.
Например, попробуем получить функцию для чисел Фибоначчи, используя сдвиги. Пусть формальный степенной ряд для нее равен <tex>F(s) = f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots</tex>, при этом <tex>f_0 = f_1 = 1</tex>, <tex>f_n = f_{n - 2} + f_{n - 1}, n > 1</tex>. Рассмотрим сумму этого ряда и ряда, полученного из него сдвигом на <tex>1</tex> вправо: <tex>F(s) + s \cdot F(s) = (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + f_3 s^3 + \dots) + (0 + f_0 s + f_1 s^2 + f_2 s^3 + \dots) = (f_0 + 0) + (f_1 + f_0) s + (f_2 + f_1) s^2 + (f_3 + f_2) s^3 + \dots = f_1 + f_2 s + f_3 s^2 + f_4 s^3 + \dots</tex>. Заметим, что результат равен сдвигу <tex>F(s)</tex> на <tex>1</tex> влево. Составим и решим уравнение: <tex>F(s) + s \cdot F(s) = \dfrac{F(s) - 1}{s}</tex>; <tex>F(s)(s^2 + s - 1) = -1</tex>; <tex>F(s) = \dfrac{1}{1 - s - s^2}</tex>.
==См. также==
