635
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:
<center>
<tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}</tex>,
</center>
где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.
}}
{{Определение
|definition=
'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида:
<center>
<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{Bx + CP(x)}{(Q(x^2 + px + q))^m}</tex>,
</center>
где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{---}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{---}} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>p^2 - 4q \deg(P) < 0\deg(Q)</tex> .
}}
==Общий алгоритм==
# Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома <tex>P(z)</tex>, составив, таким образом, систему линейных уравнений.
# Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
# Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].
===Примеры==Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center> Разложим знаменатель функции на множители <center><tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,</tex></center> тогда <center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex><center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},</tex></center>где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br><tex>A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br><tex>B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br><tex>A+C=8</tex> - это коэффициент при <tex>z^0</tex>. Решая систему из трех уравнений, находим <br><tex>A=1</tex>,<br><tex>B=-1</tex>,<br><tex>C=7</tex>.
<center>
<tex>G(z)=\dfrac{z(1-z)(z^{11}-z^{10}+3z^9+12z^8-3z^7-3z^4+21z^3-3z^2-1)}{2z^{14}-4z^{13}+28z^{12}+z42z^{11}=\sum_-82z^{n=010}-8z^9+118z^\infty (8-66z^7-35z^6+90z^5+12z^4-1)63z^n z3+14z^n 2+5z-1}.</tex></center>