Изменения

|definition=Cлучайные величины <mathtex> \xi</mathtex> и <mathtex>\eta</mathtex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <mathtex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</mathtex> события <mathtex>[ \xi \leqslant \alpha ]</mathtex> и <mathtex>[ \eta \leqslant \beta ]</mathtex> независимы.<br> <mathtex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>

|definition=Случайные величины <mathtex>\xi_1,...,\xi_n</mathtex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <mathtex>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n</mathtex> независимы в совокупности<ref>[[Независимые события]]</ref>.

Пусть есть колода из <tex>36 </tex> карт (<tex>4 </tex> масти и <tex>9 </tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

<mathtex>\xi</mathtex> {{- --}} масть вытянутой карты : <tex>0 </tex> {{- --}} червы, <tex>1 </tex> {{--- }} пики, <tex>2 </tex> {{-- -}} крести, <tex>3 </tex> {{--- }} бубны

<mathtex>\eta</mathtex> {{- --}} номинал вытянутой карты : <tex>0 </tex> {{- --}} номиналы <tex>6 , 7 , 8 , 9 , 10; </tex> <tex>1 </tex> {{--- }} валет, дама, король, туз

Для доказательства того, что <mathtex>\xi, \eta</mathtex> независимы, требуется рассмотреть все <mathtex>\alpha,\beta</mathtex> и проверить выполнение равенства:<mathtex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>

Для примера рассмотрим <mathtex>\alpha = 0, \beta = 0</mathtex>, остальные рассматриваются аналогично:

<mathtex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </mathtex>

<mathtex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </mathtex> <mathtex> \cdot </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{5}{9} </mathtex> <mathtex> = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </mathtex>

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <mathtex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</mathtex>. <mathtex>\xi (i) = i~mod~2</mathtex>, <mathtex>\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor</mathtex>.

Рассмотрим случай: <mathtex>\alpha = 0</mathtex>, <mathtex>\beta = 1</mathtex>. <mathtex>P(\xi \leqslant 0) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </mathtex>, <mathtex>P(\eta \leqslant 1) = 1</mathtex>, <mathtex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </mathtex>.

Для этих значений <mathtex>\alpha</mathtex> и <mathtex>\beta</mathtex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: <mathtex>\xi (i) = i~mod~3</mathtex>, <mathtex>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</mathtex>, то эти величины зависимы: положим <mathtex>\alpha = 0, \beta = 0</mathtex>. Тогда <mathtex>P(\xi \leqslant 0) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </mathtex> , <mathtex>P(\eta \leqslant 0) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{3}{4} </mathtex> , <mathtex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </mathtex> <mathtex> \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)</mathtex>.

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <mathtex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</mathtex>, <mathtex>\xi (i) = i~mod~2</mathtex>, <mathtex>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</mathtex>.Для того, чтобы показать, что величины <mathtex>\xi, \eta</mathtex> зависимы, надо найти такие <mathtex>\alpha, \beta</mathtex>, при которых<mathtex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>

<mathtex>При \alpha = 0, \beta = 1</mathtex>:

<mathtex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{2}{6} </mathtex> <mathtex> = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{3} </mathtex>, <mathtex>P(\xi \leqslant 0) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </mathtex>, <mathtex>P(\eta \leqslant 1) = </mathtex> <math tex dpi = "160" > \frac{5}{6} </mathtex>

<mathtex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</mathtex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.