Изменения

Рассмотрим ее, например, в такой формулировке. В арифметическом выражении, операндами которого являются целые числа, а операциями — бинарные арифметические операции “<tex>+” </tex> и “*”<tex>\times</tex>, расставить скобки так, чтобы результат оказался максимальным.Подзадачами, через которые мы будем выражать оптимальное решение, будут задачи об оптимальной расстановке скобок в произведениях наших операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м. Запоминать результат оптимального решения соответствующей подзадачи мы будем в элементе <tex>d[i, j] </tex> матрицы, размером <tex>n*\times n</tex>, диагональные элементы которой <tex>(d[i, i]) </tex> равны операндам, а для <tex>i > j </tex> все элементы равны <tex>0</tex>. Пусть мы хотим подсчитать значение арифметического выражения для операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м для <tex>i < j</tex>. Если мы предположим, что последней будет выполняться арифметическая операция, расположенная после операнда с номером <tex>k (k < j) </tex> и эта операция — сложение, то результат подсчета будет равен сумме элементов <tex>d[i, k] </tex> и <tex>d[k+1, j] </tex> нашей матрицы. С умножением ситуация несколько более сложная. Так как операндами могут быть и отрицательные числа, то для нахождения максимума из произведений нужно знать не только максимальные, но и минимальные значения для арифметических операций над операндами с <tex>i</tex>-го по <tex>k</tex>-й и с <tex>k+1</tex>-го по <tex>j</tex>-й соответственно. Значит для любой последовательности операндов нужно хранить значение как максимально, так и минимально возможного результата выполнения арифметических операций над ними. Однако, дополнительная матрица для хранения минимальных значений не нужна. Так как для <tex>i > j </tex> матрица <tex>d </tex> не заполнена, мы можем отвести эти элементы для хранения минимумов, только запоминать результат решения этой подзадачи для операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м, мы будем в элементе <tex>d[j, i]</tex>. Тогда в общем случае, если после k-го операнда стоит операция умножения, то максимальный результат будет равен <tex>max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * \times d[k+1][j]))</tex>;