9
правок
Изменения
init
{{Определение
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}
== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* что-то про то почему s, а не x
== Примеры ==
Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:
a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
}}
Ниже таблица с кучей разных примеров
== Операции ==
Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
=== Умножение ===
A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию
A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===
Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей
//пример
=== Единица ===
Существует единица 1 = 1^-s
=== Обратимость ===
Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:
<center>
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
</center>
}}
== Примечание ==
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
* что-то про то почему s, а не x
== Примеры ==
Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
{{Определение
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:
a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
}}
Ниже таблица с кучей разных примеров
== Операции ==
Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
=== Умножение ===
A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию
A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.
=== Сложение ===
Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей
//пример
=== Единица ===
Существует единица 1 = 1^-s
=== Обратимость ===
Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]
