186
правок
Изменения
→Динамическая центроидная декомпозиция (дерево центроидной декомпозиции)
* Пусть при удалении вершины <math>c</math> из дерева <math>t</math> оно распалось на поддеревья <tex>t_1, t_2,..., t_k</tex >, а центроиды этих поддеревьев - вершины < tex>c_1, c_2, ..., c_k</tex> исходного дерева, соответственно. Проведем ребра из вершины <math>c</math> в дереве <math>T</math> ребра во все вершины < tex >c_1, c_2,..., c_k</tex>.
* Рекурсивно перейдем к построению для поддеревьев <tex>t_1, t_2,..., t_k</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=
Свойства центроидной декомпозиции :
* Глубина дерева центроидов не превосходит <tex>log(n)</tex>.
* Каждая вершина <math>v</math> дерева <math>t</math> является центроидом одного из поддеревьев дерева <math>T</math>
* Каждая вершина дерева <math>t</math> принадлежит <math>O(log(n))</math> поддеревьям дерева <math>T</math> (еще говорят, что вершина принадлежит <math>O(log(n))</math> центроидам дерева <math>t</math>)
|proof=
Действительно, т.к. размер поддерева <math>s</math> каждой вершины <math>c</math> дереве <math>T</math> не превосходит <tex>\frac{|subtree(c)|}{2}</tex>, то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве <math>T</math> размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на <math>2</math>. Значит длина всего пути до листа не превосходит <math>log(n)</math>, ч.т.д.
Второе свойство очевидно из построения дерева <math>T</math>, т.к. если вершина принадлежит дереву центроидов <math>T</math>, то она является центроидом, а из построения <math>T</math> мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву <math>T</math>.
Третье свойство - прямое следствие первых двух, т.к. вершина принадлежит любому центроиду <math>c</math> т.и т.т., когда c - отец вершины <math>v</math> в дереве центроидов. Т.к. вершина <math>v</math> точно принадлежит дереву <math>T</math> (свойство 2), то она лежит на каком-то пути в дереве <math>T</math>, причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству 1 длина любого вертикального (и даже простого) пути есть <math>O(log(n))</math>, ч.т.д.
}}
