Изменения

'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:

* чтоВместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой. * Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-то про то почему s, а не x}} </tex>. Это считается более удобной формой.

Самая известная Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана

'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functionsThe Riemann zeta function'') -- — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1<tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, a2, a3состоящей из единиц:<center><tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots , вида: </tex></center>

Ниже таблица с кучей разных примеровТаблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1 |-align="center" bgcolor=#EEEEFF| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>''' |-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex> |-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>

Если <tex>A(s) = ann−s </tex> и <tex>B(s) </tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n= bnn−s мы получаем функцию1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s)= a1b1 \frac{a_1b_1}{1^s} + a1b2 \frac{a_1b_2 +a2b1 a_2b_1}{2^s} + a1b3 \frac{a_1b_3 +a3b1 a_3b_1}{3^s} + a1b4 \frac{a_1b_4 +a2b2 a_2b_2 +a4b1 a_4b_1}{4^s} +... 1s 2s 3s 4sВнутренние \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложениям разложением числа m <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную мультипликативную структуру натуральных чисел.  

Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному почленному сложению последовательностей .

Существует единица Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1^{-s }</tex>.

Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s) </tex> с ненулевым свободным членом, а1 != <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее сусуществует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex> Attention!Можно привести доказательство теоремы о виде об обратной функции для детодзета-функции Римана

* [http://kvantfiles.mirror1school-collection.mccmeedu.ru/1988dlrstore/11d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/razbienie_chisel47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.htm Вайнштейн Фpdf С.К.Ландо, Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11Леции о производящих функциях, 1988 2007 год]* [http://wwwmathworld.genfuncwolfram.rucom/ Производящие функцииDirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]* [httphttps://enmathlesstraveled.wikipedia.orgcom/2017/01/wiki30/Generating_function Wikipedia {{dirichlet-generating--}} Generating functionfunctions/ Dirichlet generating functions]