64
правки
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим функцию <tex>f(\phi)=\dfrac{\sin(10\phi)}{\sin\phi}</tex> на <tex>\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]</tex>. Вне отрезка <tex>\left[\dfrac{-\pi}{10},\dfrac{\pi}{10}\right]
f(\phi) \leqslant \dfrac{1}{\sin\frac{\pi}{10}}\approx 3</tex>, значит интеграл по этой части не больше <tex>3^6\pi \approx 2300</tex>, основная часть сосредоточена на <tex>\left[-\dfrac{\pi}{10},\dfrac{\pi}{10}\right]</tex>. Оценим интеграл по этому промежутку с помощью метода стационарной фазы. <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%B7%D1%8B Метод стационарной фазы — Википедия]</ref> Этот метод позволяет оценить значение интеграла
: <tex>\displaystyle\int_{-\pi/10}^{\pi/10}f^td\phi=\displaystyle\int_{-\pi/10}^{\pi/10}e^{t\ln{f}}d\phi</tex>. При <tex>t \rightarrow \infty</tex> значение интеграла определяется поведением его фазы, т.е. <tex>\ln{f}</tex>, в окрестности стационарной точки <tex>0</tex> (точки, где <tex>(\ln{f})'=0</tex>, или, что то же самое, <tex>f'=0</tex>). Вблизи <tex>0</tex> <tex>f(\phi) \approx 10 \left(1 - \fracdfrac{33}{2}\phi^2\right)</tex>, а <tex>\ln{f}(\phi) \approx \ln 10 - \fracdfrac{33}{2}\phi^2</tex>. При больших <tex>t </tex> получим
: <tex>{\displaystyle\int_{-\pi/10}^{\pi/10}\exp(t(\ln 10 - \frac{33}{2}\phi^2))d\phi=10^t \int_{-\pi/10}^{\pi/10}\exp(-\frac{33}{2}\phi^2)d\phi=\sqrt{\dfrac{\pi}{66t}} \cdot \mathrm{erf}\left(\sqrt{\dfrac{33t}{2}\phi}\right)\bigg\rvert_{-\pi/10}^{\pi/10}}</tex>, где <tex>\mathrm{erf}(z)</tex> {{---}} функция ошибок <ref>[http://mathworld.wolfram.com/Erf.html Erf -- from Wolfram MathWorld]</ref>. Заметим, что при <tex>z > 2 </tex> <tex>\mathrm{erf}(z) \approx 1</tex>, поэтому интеграл примерно равен <tex>10^t \sqrt{\dfrac{2\pi}{33t}}</tex>.
Полагая <tex>t=6</tex> и вспоминая выражение для <tex>p_0</tex>, получаем приближенное равенство:
