Изменения

<tex> \Rightarrow </tex>

Предположим противное: в дереве <tex> A </tex> не все минимальные ребра на циклах. Тогда, найдется цикл в графе <tex> G </tex>, в котором есть ребро <tex> (u, v) \notin A</tex>, которое легче остальных ребер этого цикла, включая ребро <tex> (a, b) \in A</tex>. Следовательно, можно получить остов с меньшим весом, удалив ребро <tex> (a, b) </tex>, и, добавив <tex> (u, v) </tex>. Поэтому, дерево содержащее ребра не наименьшего веса на циклах не минимально {{---}} противоречие.