<tex> \Rightarrow </tex>
Докажем, что остовное дерево, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах {{---}} минимально.
Предположим противное: пусть в остовном дереве <tex> A </tex> не все минимальные ребра на циклах, тогда оно не минимально.
Найдем Попробуем найти цикл в графе <tex> G </tex>, в котором есть ребро <tex> (u, v) \notin A</tex>, и которое легче остальных ребер этого цикла, включая ребро <tex> (a, b) \in A</tex>. СледовательноОчевидно, можно получить остов что таких пар ребер найти нельзя, так как <tex> A' </tex> с меньшим весом, удалив ребро <tex> (a, b) </tex> состоит из <tex> A </tex>, и, добавив вместо него <tex> (u, v) </tex>ребер наименьшего веса. Поэтому, остовное дерево <tex> A </tex> не минимально нельзя улучшить, следовательно оно минимальное {{---}} противоречие. Теперь, рассмотрим остовное дерево, состоящее из минимальных ребер. Попробуем проделать тоже самое: найти цикл в котором есть пара нужных ребер. Так как остов состоит из ребер наименьшего веса, то таких циклов нет, следовательно его улучшить нельзя, следовательно такое остовное дерево минимально.
<tex> \Leftarrow </tex>
