Изменения

|definition = '''Рёберной раскраской''' (англ. ''Edge colouring'') графа <tex>G(V, E)</tex> называется отображение <tex>\varphi:</tex> из множества рёбер <tex>E \rightarrow </tex> во множество красок <tex>\{c_{1}...\ldots c_{t}\}</tex> {{---}} ''множество красок'' такое, что для для любых двух различных рёбер <tex>e_{i}, e_{j}</tex> , инцидентных одной вершине , верно, что <tex> \varphi (e_{i}) \neq \varphi (e_{j})</tex>.

== Некоторое Некоторые оценки хроматического индекса ==

|id = lem1|about = о нижней оценке хроматического индекса|statement= <tex>\forall\ G(V, E) : \Delta (G) \leqslant \chi '(G) \geq </tex>, где <tex>\Delta (G)</tex>{{---}} максимальная степень вершины в графе|proof= Действительно, давайте рассмотрим вершину максимальной степени в графе. Ей инцидентно ровно <tex>\Delta(G)</tex> рёбер. При этом, чтобы все они имели попарно различные цвета, они все должны иметь различные цвета, иначе найдётся пара различных рёбер , инцидентных одной вершине и имеющих одинаковый цвет.

Заметим, что в теории графов доказывается более строгое неравенство<ref>http://math.uchicago.edu/~may/REU2015/REUPapers/Green.pdf</ref>, ограничивающее <tex>\chi '(G)</tex>. А именно то, что, <tex>\forall\ G(V, E) : \Delta (G) \leq leqslant \chi '(G) \leq leqslant \Delta (G) + 1</tex>. Однако доказательство этого факта очень громоздко и достойно отдельной статьи.

 == Рёберная раскраска двудольного графа =={{Лемма|id = lem2|about = о совершенном паросочетании|statement= В [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольном]] <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярном]] графе с одинаковыми по размеру долями существует совершенное паросочетание.|proof= Возьмём <tex>L</tex> {{---}} произвольное подмножество левой доли. Рассмотрим подграф образованный <tex>L</tex> и множеством всех их соседей из правой доли <tex>R</tex>. Все вершины левой доли нашего подграфа будут иметь степень <tex>k</tex>, а степени вершин правой доли '''не превосходят''' <tex>k</tex>. Посчитаем количество рёбер <tex>m_{L}</tex> в данном подграфе. В данной же статье силу его двудольности, это число будет равняться сумме степеней вершин одной из долей. <tex>m_{L} = \underset{{v\in L}}{\sum} deg(v) = |L|\cdot k = \underset{{u\in R}}{\sum} deg(u) \leqslant |R|\cdot k</tex>. Из этого мы оценим получаем, что <tex>|L|\leqslant |R|</tex>. Значит в данном графе выполняется [[Рёберная покраска Теорема Холла | Теорема Холла]]. Из чего следует, что в нём есть совершенное паросочетание.}} {{Теорема|statement= Существует рёберная раскраска двудольного графа <tex>G</tex> в <tex>\Delta(G)</tex> цветов. Иными словами, для двудольного графа<tex>\chi '(G) = \Delta(G)</tex>|proof= В доказательство рассмотрим следующий алгоритм поиска такой раскраски: # Для начала сделаем доли графа одинаковыми по размеру, дополнив меньшую из долей необходимым количеством [[Основные определения теории графов#chromativ_index isolated_vertex | хроматический индексизолированных вершин]] двудольных графов ;# Следующим жадным алгоритмом сделаем его <tex>\Delta(G)</tex>-регулярным: пока граф не регулярный возьмём вершину левой доли степени меньше <tex>\Delta(G)</tex> и аналогичную вершину правой доли. Соединим их ребром;# Мы получили регулярный двудольный граф с равными долями. По лемме о совершенном паросочетании в таком графе есть совершенное паросочетание. Найдём его, например [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания | алгоритмом Куна]], и удалим из графа;# Заметим, что граф всё ещё остался регулярным, так как степень каждой вершины уменьшилась на <tex>1</tex>. Будем повторять процесс, пока в графе есть рёбра;# В итоге мы разобьём рёбра графа на <tex>\Delta(G)</tex> совершенных паросочетаний; # В конце нам остаётся каждое паросочетание покрасить в свой цвет и удалить рёбра, которых не было в изначальном графе;  Докажем, что жадный алгоритм из пункта <tex>2</tex> всегда выполняет поставленную задачу. Предположим, что это не так, и, не нарушая общности, у нас остались вершины в правой доле степени меньше <tex>\Delta(G)</tex>, а в левой таких вершин нет. Давайте посчитаем количество рёбер <tex>m</tex> в графе. Из левой доли исходит <tex>|L| \cdot \Delta(G)</tex> рёбер. В правую же приходит не более <tex>|R| \cdot \Delta(G)</tex> рёбер, но так как существует вершина степени меньше <tex>\Delta(G)</tex>, то неравенство строгое. Получается <tex>|L| \cdot \Delta(G) = m < |R| \cdot \Delta(G)</tex>. Но в нашем графе <tex>|L| = |R|</tex>. Следовательно <tex>\Delta(G) < \Delta(G)</tex>, что приводит нас к противоречию.  Таким образом мы нашли раскраску двудольного графа в <tex>\Delta(G)</tex> цветов и предъявим предъявили алгоритм её получения. А по лемме о нижней оценки, меньше цветов использовать нельзя. Следовательно <tex>\chi '(G) = \Delta(G)</tex> Заметим, что наш жадный алгоритм их раскраскиможет проводить кратные рёбра в графе. Однако ни лемма о совершенном паросочетании, ни [[Теорема Холла | Теорема Холла]] не используют в своём доказательстве отсутствие таковых. }} ==См. также==* [[Теорема Холла]]* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]* [[Раскраска двудольного графа в два цвета]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Рёберная_раскраска Википедия {{---}} Рёберная раскраска] [[Категория: Раскраски графов]][[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]