Изменения
→Формулы суммирования
===Формулы суммирования===
Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
:<tex dpi = "180150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
:<tex dpi = "180150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.</tex>
Число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
Michael Spivey<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex dpi = "180150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
===Производящая функция===
Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией]] числе Белла является:
