1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
<tex>\Delta x_k= \varphi(t_{k + 1}) - \varphi(t_k)</tex>
<tex>\Delta y_k = \psi(t_{k + 1} ) - \psi(t_k))</tex>.
Рассмотрим отрезок <tex>P_kP_{k+1}</tex>. Он является хордой дуги и его длина равна <tex>\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}</tex>.
}}
Докажем в заданных ограничениях, что дуга всегда спрямляемая.<br><tex>L(P) = \int\limits_a^b \sqrt{\dot\varphi^2(t) + \dot\psi^2(t)} dt</tex>Под знаком интергала-непрерывная функция(o_O), значит, интергал существует!
{{TODO|t=Понимание, вернись!}}
<tex> \dots \dots \dots </tex>
}}
== Площадь фигур ==
{{Определение
|definition=
Фигура '''квадрируема {{---}} ''', если у неё есть площадь.
}}
Получение формулы основано на так называемом «принципе исчерпывания древних»исчерпывания» древних. {{TODO|t=Точно так?}}
Пусть есть фигура <tex>A</tex>, необходимо найти её площадь <tex>|A|</tex>. Пусть имеются два класса фигур <tex>B</tex> и <tex>C</tex>.
У каждой из фигур, принадлежащих <tex>B</tex> и <tex>C</tex> существует площадь, и, при этом, они таковы, что
Тогда этот принцип утверждает, что фигура квадрируема и её площадь
<tex>S |A| = \sup\limits_{\varepsilon > 0} |b_\varepsilon| = \inf\limits_{\varepsilon > 0} |c_\varepsilon|</tex>
=== Площадь под графиком ===
<tex>S = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta f^2(\phi) d\varphi = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta r^2 d\varphi</tex>
}}
==== Фигура вращения ====
Найдём объём фигуры вращения.
<tex>y = f(x)</tex>, <tex>x \in [a; b]</tex>, <tex>y</tex> {{---}} непрерывна.
Крутим это по оси <tex>x</tex>, получаем «бочку». Нужно найти её объём.
{{Утверждение
|statement=
<tex>V = \pi\int\limits_a^b f^2(x)dx</tex>
|proof=
Построение аналогично. За базу берётся цилиндр высоты <tex>h</tex> и радиуса <tex>r</tex>. Его объём равен <tex>\pi r^2 h</tex>.
<tex>\Pi'_k = \Delta x_k m_k^2 \pi</tex>
<tex>\Pi''_k = \Delta x_k M_k^2 \pi</tex>
Фигура зажимается, объём равен интегралу <tex>\pi\int\limits_a^b f^2(x)dx</tex>.
}}
==== Формула Кавальери ====
Пусть дана некоторая фигура в <tex>\mathbb{R}^3</tex>. При взятии её сечений по оси <tex>x</tex> получаем плоские фигуры.
Пусть мы умеем считать площади сечений. Тогда абсолютно аналогично доказывается, что <tex>V = \int\limits_a^b S(x) dx</tex>.
