Изменения

Два события <tex>A </tex> и <tex>B </tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>}} {{Определение|definition = Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>}} {{Определение|definition =События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>}} {{Определение|definition =События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы. }} {{Утверждение|statement =Несовместные события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.|proof =<tex>\Rightarrow </tex>: Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>. <tex> \Leftarrow </tex>:Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.

*==== Игральная кость====<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\fracdfrac{1}{2} </tex> {{--- }} вероятность выпадения чётной цифры <tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр <tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.==== Карты ====<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  <tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства <tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.==== Честная монета ==== <tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла <tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки <tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.==== Тетраэдр Бернштейна ====Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. <tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей красный цвет <tex> B </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей синий цвет <tex> C </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна: <tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex> Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна:<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} </tex> <tex>p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex> <tex>p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)</tex> <tex>p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)</tex> Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}</tex>

<tex> p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1,}{2,3}\cdot\dfrac{1}{2}\ p(B)cdot\dfrac{1}{2}=\fracdfrac{1}{28} </tex> - вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: <tex> p(A \cap B\cap C)=\neq p(A) \{2cdot p(B) \}cdot p(C)=\frac{1}{6}</tex>

<tex>p(A)p(B)=\fracПолучили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия {1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1---}{4}</tex>не одно и то же, что мы и хотели показать.

Получаем==См. также==*[[Вероятностное пространство, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>элементарный исход, значит эти события не независимы.событие]]*Карты<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\frac{1}{4} </tex> - вероятность выпадения карты заданной масти [[Дискретная случайная величина]]

<tex> B=\= Источники информации ==*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {(i,1)\}\ p(B)=\frac{1---}{13} </tex> - вероятность выпадения карты заданного достоинстваНезависимость]

<tex> p*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(A \cap Bтеория_вероятностей)=p(\Википедия {(1,1)\})=\frac{1---}{52}</tex> - вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинстваНезависимость (теория вероятностей)]