133
правки
Изменения
Нет описания правки
Обозначим <tex>B' = B\setminus x</tex>.<br>
Найдём соотношение между <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>
#:a) Одна четная, другая - нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> <br>
#:b) Обе чётные : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> <br>
#:b) Она нечётная : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> <br>
# <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности <tex>G \setminus B</tex> : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> <br>
Рассмотрев случаи, видим, что для любого из них выполнено : <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + - 1 </tex> <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex> <br>
Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G)</tex><br>
{{Утверждение
|id=proposal1.
|author=D.P.Sumner, M.Las Vergnas
|about=следствие из теоремы
|statement=Пусть <tex>G</tex> {{---}} связанный связный граф, не содержащий лапы, <tex>v(G)</tex> чётно. Тогда <tex>G</tex> имеет [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенное паросочетание]].
|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>
По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = \mathrm{def}(G) = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием]], равно 0, т.е. существует совершенное паросочетание.
}}
* [[Декомпозиция Эдмондса-Галлаи]]
* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]
* [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания]]
== Источники информации ==
