Изменения

Назовём лист бамбука вершиной <tex> a </tex>, а центр дерева <tex>- \ c </tex>. Тогда <tex> dist(a, c) = \frac{l+1}{2} </tex>. Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные <tex> l. </tex> Теперь будем искать, какое <tex> n </tex> стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина <tex> x </tex>. Найдём <tex> d(x): d(x) = n + 1 + 2 + ... + l = n + \frac{(l+1)l}{2} </tex>. Рассмотрим вершину <tex> v \neq x </tex>. Очевидно, что <tex> d(v) > 2(n-1) </tex>, так как все вершины, кроме <tex> x </tex> удалены хотя бы на расстояние <tex> 2 </tex> от <tex> n-1 </tex> вершины. В таком случае, <tex> d(x) < d(v) \Leftrightarrow n > \frac{(l+1)l}{2} + 2 </tex>. Мы получили, что <tex> dist(c, x) = \frac{l-1}{2} </tex>, и <tex> x </tex> является барицентром. Найдём такие <tex> l ,</tex> что <tex> \frac{l-1}{2} \geq k</tex>. Для этого можно взять любое <tex> l \geq 2k + 1 </tex>. Таким образом, искомые <tex> m, l </tex> существуют, и теорема доказана.

}}