Изменения

|proof = Признак непрерывной строго выпуклой функции <ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Выпуклая_функция</ref>: <tex> 2f(\displaystyle \frac{x+y}{2}) < f(x) + f (y) </tex>. Функция <tex> d(x) </tex>, вообще говоря, не является непрерывной, но её можно доопределитьтак, чтобы на полуинтервале интервале <tex> [(a, b) </tex>, где <tex> a, b \in \mathbb {N} </tex> она принимала соединяла значения <tex> d(a) </tex> и <tex> d(b) </tex> отрезком. Для доказательства непрерывности нам интересна только середина этого отрезка, то есть <tex> \displaystyle \frac{a+b}{2} </tex>. В ней функция будет, очевидно, принимать значение <tex> \displaystyle \frac{d(a) +d(b)}{2} </tex>. Докажем, что признак строго выпуклой функции выполняется.Есть два случая: когда расстояние между <tex> x, y </tex> четное и нечетное. Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Пусть в пути от <tex> x </tex> до <tex> y </tex> , кроме них есть только вершина <tex> z </tex>. Тогда по предыдущей лемме неравенство очевидно. Пусть есть другие вершины, тогда их не меньше двух, так как <tex> dist(x, y) </tex> четно. Рассмотрим тогда в этом пути вершины, которые находятся от <tex> z </tex> на расстоянии <tex> 2 </tex> (пусть они идут в порядке: <tex> a b z c d </tex>), и докажем, что неравенство всё ещё сохраняется. <tex> 4d(z) < 2d(b) + 2d(c) < d(a) + d(z) + d(z) + d (b) \Rightarrow 2d(z) < d(a) + d (b)</tex>. Так будем увеличивать расстояние от <tex> z </tex> и придём к вершинам <tex> x, y </tex>, сохраняя инвариант.