286
правок
Изменения
proof?
|statement=
Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{z}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">M=MSet(A)</tex> {{---}} множество всех мультимножеств <ref>[[wikipedia:Multiset|Wikipedia {{---}} Мультимножества]]</ref> из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">\{1 \ldots k\}</tex>. Тогда '''количество мультимножеств''' из объектов суммарного веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">M_{n}=m_{n, n}</tex>, где <tex dpi="150">m_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}+i-1}{i} m_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких мультимножеств, которые содержат объекты, вес которых не больше чем <tex dpi="130">k</tex>.
|proof=Рассуждения аналогичны рассуждениям <tex dpi="130">PSet</tex>, однако теперь мы можем брать один и тот же элемент несколько раз. То есть для подсчета вместо обычных сочетаний нужно использовать сочетания с повторениями.
}}
|statement=
Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{z}\}</tex>, <tex dpi="130">B=\{b_{1},b_{2}, \ldots ,b_{m}\}</tex> {{---}} множества из различных объектов, <tex dpi="130">D=Pair(A, B)</tex> {{---}} множество всех пар объектов, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex> и <tex dpi="130">B</tex>. <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">\{1 \ldots k\}</tex>, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, а <tex dpi="130">U=\{u_{1},u_{2}, \ldots ,u_{k}\}</tex> {{---}} соответственно для <tex dpi="130">B</tex>. Тогда '''количество пар''' из объектов суммарного веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">D_{n}=\sum_{i=0}^{n}w_{i}u_{n-i}</tex>.
|proof=Чтобы составить пару веса <tex dpi="130">n</tex> нужно взять один элемент веса <tex dpi="130">0 \leqslant i \leqslant n</tex> и элемент веса <tex dpi="130">n-i</tex>, что полностью соответствует данной формуле.
}}
По [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа#Лемма Бёрнсайда|лемме Бёрнсайда]] <tex dpi="150">c_{n,s} =\sum_{i=0}^{s-1}\dfrac{|St(\vec{i})|}{s}</tex>, где <tex dpi="150">|St(\vec{i})|</tex> {{---}} количество стабилизаторов для циклического сдвига на <tex dpi="150">i</tex> .
|proof=Очевидно, что длина цикла веса <tex dpi="130">n</tex> может быть от <tex dpi="130">1</tex> до <tex dpi="130">n</tex>. Посмотрим сколько существует циклов каждой длины. Это можно сделать по лемме Бёрнсайда.
}}
