15
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Умножением''' (англ. ''multiplication'') или '''композицией''' (англ. ''composition'') перестановок,представленных в виде целочисленных функций <tex> a_i </tex>, где <tex>i - </tex> позиция элемента, а <tex> a_i </tex> — его номер, называется перестановка, получаемая по следующему правилу:
<tex> (ab)_i = a_{b_i} </tex>
|definition=
'''Обратной перестановкой''' (англ. ''an inverse permutation'') <tex> a^{-1} </tex> к перестановке <tex> a </tex> называется такая перестановка, что:
<tex> (a^{-1}a)_i = (aa^{-1})_i = i </tex>
|id = def_involution
|definition=
Перестановка, равная своей обратной, называется '''инволюцией''' (англ. ''involution''):
<tex> a_i = a^{-1}_i \Rightarrow (aa ^{-1})_i = (aa)_i = a_{a_i} = i </tex>, то есть её представление в виде циклов не содержит цикла, размер которого больше двух.
|definition=
Перестановка, меняющая местами только два элемента, называется '''транспозицией''' (англ. ''transposition'').
}}
{{Определение
|definition=
'''Группой''' (англ. ''group'') называется множество <tex> M </tex> с заданной на нём бинарной операцией <tex> \circ: МM\times M \longrightarrow M</tex>, удовлетворяющей следующим свойствам:
# <tex> (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3) </tex> — ассоциативность соответствующей бинарной операции.
{{Утверждение
|statement=
Множество перестановок с <tex> n </tex> элементами с операцией умножения является группой (часто группу перестановок называют симметрической(англ. ''symmetric group''), и обозначают <tex> S_n </tex>).
|proof=
Свойства <tex>1</tex> и <tex>3</tex> доказаны выше, а в качестве нейтрального элемента выступает тождественная перестановка (<tex> \pi_i = i </tex>).
{{Определение
|definition=
'''Группа чётных перестановок''' (англ. ''alternating group'')<tex> A_n </tex> является подгруппой симметричной группы перестановок, образованной всеми чётными перестановками. Композиция не выводит из группы, так как если представить каждую перестановку группы в виде чётного числа транспозиций и перемножить их, чётность не изменится.
}}
{{Определение
|definition=
'''Подстановкой''' (англ. ''substitution'') называется всякое взаимно однозначное отображение <tex> A </tex> множества первых <tex>n</tex> натуральных чисел на себя.
}}
{{Определение
|definition=
'''Группой подстановок''' (англ. ''group of substitutions'') называется некоторая совокупность подстановок, замкнутая относительно композиции отображений, определяющей бинарную операцию для подстановок на одном и том же множестве.
}}
