Изменения

Если Пусть <tex>x \in A</tex>, то . Тогда <tex>A</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>, если <tex>\exists V: x \in V \subset A </tex> 

#Пусть <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Рассмотрим два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \bar tilde \rho) </tex>.: Пусть <tex> f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , т.е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \bar tilde \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.

1) # Предел сложного отображения.#: <tex> A \subset X,\ B \subset Y, Z</tex>. <tex>X, Y, Z</tex> {{---}} МП, у каждого своя метрика. #: <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, тогда <tex>b</tex> предельная у B {{TODO|t=WTF??}} , при этом::<tex>g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) </tex>:<tex>Z = g(f(x))</tex>:<tex>f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A</tex>:<tex>g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): </tex>:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\

== Печальная часть статьи ==В том что я набрал, очень сильно отличаются конспекты. Поэтому пока даже не форматирую в : <tex.> f(x) = \rho(x, a)</tex>: <tex> f: X \rightarrow R_+.</tex>

: <tex> \rho(x_2, a) <= \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1)</tex> : <tex> \rho(x_1, a) <= \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2)</tex>: <tex> |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| <= \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) <= \rho(x_2, x_1)</tex>: <tex> |f(x_2) - f(x_1)| <= \rho(x_2, x_1) \forall x \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна

:<tex> f(x) = \rho(x, A) = (def ) inf \rho(x, a), a \in A </tex> - расстояние от x до A.  <tex> f(x) </tex> - непрерывна, Док-во: <tex> f(x) <= \rho(x, a), a \in A </tex>: <tex> \rho(x_1, A) <= \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>: <tex> \rho(x_2, A) <= \rho(x_1, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>: <tex> |\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| <= \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна при?????

F - замкнуто <tex> \Rightarrow x \in F \Leftrigharrow Leftrightarrow \rho(x, F) = 0</tex>{{TODO| t = непонятно. у меня и Артема в конспекте написано что доказательство - упражнение на дом, но у Вали в конспекте что- то есть. Тут надо проверить, правда ли это:}}: <tex> \rho(x, F) = inf \rho(x, a), a \in F</tex>: <tex> \rho(x, x) = 0, \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? \rho(x, F) = 0, \Leftarrow x \in F</tex>

: <tex> x \in F \Rightarrow \rho(x, x) = 0 ; inf \rho(x, a) = 0 (т.к. \rho >= 0) \Rightarrow \rho(x ???? \forall a \in F</tex>}}

{{Теорема(|about=о нормальности МП):|statement=

 Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex>, F_1, F_2 - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j \in G_j , j = 1, 2; G_1 \cap G_2 = \varnothing</tex>Док-во:|proof=<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)}</tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель != не равен 0 \Rightarrow . Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho</tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1</tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty)</tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество.: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty)</tex>: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing</tex>, ч.т.д.