Изменения

== Свойства непрерывных отображений==1) {{Определение:|definition=Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> K \in X </tex> является компактом в X, если из любой последовательности точек \in принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K</tex>.}}<tex> [a, b] </tex> на <tex> \mathbb{R} </tex> - классический пример.

 2) Связные мн-ва:{{Определение|definition=<tex> A \in X </tex> является связным, если нельзя подобрать пару <tex> G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2).</tex>}}

Док{{Теорема|about=свойство связанного множества|statement=Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.Пусть A -восвязное в R. Пусть <tex> a, b \in A </tex>. Если <tex> \forall c \in (a, b):c \in A </tex>, свойство верно.|proof=<tex> G_1 \cup G_2 = R\backslash \{c| \}, c \in A}, . A = (A \cap G_1) \cup (A \ cap G_2) \Rightarrow A </tex> не связно, получили противоречие, <tex> c \in A</tex>, ч.т.д.}}

{{Теорема:|statement=Пусть K - компакт в <tex> (Y, \rho'); f: K \rightarrow(neprerivno) (Y, \rho') \Rightarrow f(K) </tex> - компакт в <tex> (Y, \rho') </tex>( непрерывный образ K есть K).Док-во:|proof=Рассмотрим <tex> y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K</tex>.<tex> \exists x_{nk} \rightarrow x \in K</tex>. По непрерывности <tex> f(K): y_{nk} = f(x_{nk}) \rightarrow y = f(x) \in f(K)</tex>, ч.т.д.}}