693
правки
Изменения
→remove(u,v)
Рассмотрим случаи, когда мы берём ребро из леса. Тогда необходимо выяснить, не является ли данное ребро мостом в графе, и выполнить соответствующие действия.
Проверим, является ли ребро мостом. У ребра <tex>uv</tex> известен уровень, пусть он равен <tex>i</tex>. Попробуем найти другое ребро (<tex>xy</tex>), соединяющее поддеревья <tex>T_u</tex> и <tex>T_v</tex>, на которые распалось остовное дерево исследуемой компоненты<tex>T</tex>.
{{Утверждение
|proof=От противного. Пусть <tex>l(xy)=j</tex> и <tex>j\geqslant i</tex>. Тогда вершины <tex>x</tex> и <tex>y</tex> каким-то образом связаны в <tex>F_j</tex> (либо непосредственно ребром <tex>xy</tex>, либо каким-то другим путём). Но <tex>F_j \subseteq F_i</tex>. Значит, в <tex>F_i</tex> между <tex>x</tex> и <tex>y</tex> сохранился путь из рёбер уровня не меньше <tex>j</tex> и появился другой путь через <tex>uv</tex>. Приходим к противоречию, так как в <tex>F_i</tex> все компоненты должны быть деревьями.
}}
Чтобы найти <tex>xy</tex>, выберем из поддеревьев <tex>T_u</tex> и <tex>T_v</tex> наименьшее. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>|T(u)|\leqslant|T(v)|</tex>. <!--ежу понятно--> Так как хотя бы одно из двух слагаемых всегда не превосходит половины их суммы, имеем важное свойство:
<tex>|T(u)|\leqslant\dfrac{|T_u|+|T(v)|}{2}=|T|</tex>.
