Изменения
Нет описания правки
:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих убывающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как падающий убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
==Обобщения==
:<tex>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>
:<tex>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>
:<tex>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kindЧисла Стирлинга первого рода|числами Стирлинга первого рода]] defined by the following coefficients of the powers of <math>x</math> in the expansions of <mathtex>(x)_{n,f,t}</mathtex> and then by the next corresponding triangular recurrence relation:
:<tex> \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\
= f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. </tex>
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kindЧисла Стирлинга первого рода|числами Стирлинга первого рода]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <tex>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</tex>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref>
== См.также ==
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
*[[Числа Стирлинга второго рода]]
*[[wikipedia:Injective function|Инъективное отображение]]
*[[wikipedia:Generalized Pochhammer symbol|Обобщённый символ Похгаммера]]
*[[wikipedia:q-Pochhammer symbol|''q''-Похгаммер символ]]
==Примeчания==
<references/>
==Источники материалаинформации==
* [http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html Pochhammer Symbol]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials#cite_ref-3 Wikipedia {{---}} Falling and rising factorials]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Символ Похгаммера]]
