32
правки
Изменения
Нет описания правки
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>
}}
Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp. <tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function инъективных отображений] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.
Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
==Примеры==
==Свойства==
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
По [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала:
:<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex>
:<tex dpi=150>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex>
:<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients''). Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить <tex dpi=150>k</tex> элементов из множеств размера <tex dpi=150>m</tex> и <tex dpi=150>n</tex>.
}}
===Биномиальный коэффициент===
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
===Связь убывающего и растущего факториалов===
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:<tex dpiref name=150"Introduction to the factorials and binomials">x[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</texref> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
<tex dpi=150> x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} </tex>:<tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex> Отношение двух символов Похгаммера определяется как: :<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i. </tex> Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как: :<tex dpi=150>x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{m+n} = (x)_m (x+m)_n</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex> ===Гамма функция===Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием [[wikipedia:Gamma function|Гамма функции]] при условии, что <tex dpi=150>x</tex> и <tex dpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:.
{{Утверждение
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}</tex>
:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)=(x)^{(n)}</tex>, что и требовалось доказать.
}}
}}
===Дифференциал===
Если <tex dpi=150>D</tex> означает производную по <tex dpi=150>x</tex>, то
:<tex dpi=150>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>
==Обобщения==
