32
правки
Изменения
Нет описания правки
|definition=
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''', '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:
:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>
}}
По [[wikipedia:Multiplication theorem|теореме об умножении]] получаем следующие выражения для растущего факториала:
:<tex dpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_prod\limits_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<tex dpi=150>(ax+b)_n = x^n \prod_prod\limits_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex>
:<tex dpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>
Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен обобщенное факториальное произведение вида:
:<tex dpi=150>(x)_{n,f,t} = \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
== См.также ==
