Изменения
Нет описания правки
[[Файл:FCT_pic1.jpg|500px|right|thumb|Пример ответа на запрос]]
Пусть <tex> n = \sum\limits_{i = 1}^k n_i </tex>.
# Для ответа на запрос последовательно посетим все каталоги. Пусть мы находимся в <tex> i</tex>-ом м каталоге, тогда мы можем ответить на запрос для данного каталога за <tex> O(\log n_i) </tex>, используя [[Целочисленный двоичный поиск|бинарный поиск]]. Так как каталогов <tex> k </tex> штук, то для ответа на запрос понадобится <tex> O(k \log n) </tex> времени. Для хранения всех каталогов понадобится <tex> O(n) </tex> памяти.# Для второго способа построим сбалансированное бинарное дерево поиска из всех элементов всех каталогов. В каждой вершине дерева со значением будет храниться дополнительно кортеж из <tex> k </tex> элементов {{---}} максимальных представителей каждого каталога меньше либо равных данному значению. Таким образом такая структура будет занимать <tex> O(n) </tex> на дерево поиска и <tex> O(kn) </tex> на дополнительные кортежи.Тогда для ответа на запрос найдем в дереве поиска максимальный ключ меньше либо равный <tex> x </tex> и выведем <tex> k </tex> элементов соответствующего кортежа, итого ответ на запрос производится за <tex> O(\log n + k) </tex>.
Пример работы второго алгоритма: пусть <tex> C_1 = \{1, 2, 3\}</tex>, <tex> C_2 = \{2, 3, 4\} </tex>, <tex> C_3 = \{1, 3, 4\} </tex> и запрос <tex> x = 2 </tex>.
*Построим кортежи для каждого значения по определению выше.<br><tex> key_1 = 1 \Leftrightarrow p_1 = \{1, \emptyset, 1\} </tex><br><tex> key_2 = 2 \Leftrightarrow p_2 = \{2, 2, 1\} </tex><br><tex> key_3 = 3 \Leftrightarrow p_3 = \{3, 3, 3\} </tex><br><tex> key_4 = 4 \Leftrightarrow p_4 = \{3, 4, 4\} </tex>. <br> <tex> key_i </tex> {{- --}} значение, которое попадает в дерево поиска, <tex> p_i </tex> кортеж из элементов, который соответствует <tex> key_i </tex>.
*Для ответа на запрос найдем в дереве поиска ключ максимальный <tex> key \leqslant x </tex>, для <tex> x = 2 </tex> ключ <tex> key = key_2 = 2 </tex>, тогда в качестве ответа будет выступать кортеж <tex> p_2 </tex>.
<br>
<br>
Идея данной техники построена на следующем: <br>
# Мы можем проводить ссылки из каталога номер <tex> i </tex> в <tex> (i + 1) </tex>-ый й каталог таким образом, что разница между элементами, соединенными ссылками минимальна, что, в некоторых случаях уменьшит время поиска элемента в следующем каталоге, так как область поиска сожмется. <br># Мы можем для оптимизации пункта 1 создать модифицированные каталоги <tex> M_i </tex>, где <tex> i </tex>-ый й каталог будет представлять каталог <tex> C_i </tex> слитый с <tex> M_{i + 1} </tex>
=== Построение ===
<br> <tex> C_4 = \{3, 4, 8, 10, 12\} </tex>
<br> <tex> C_5 = \{1, 2, 4, 6, 9\} </tex>
<br> Для наглядности заведем таблицу, где в <tex>i</tex>-ой й строке <tex> j </tex>-ая я ячейка будет окрашена в зеленый цвет, если она присутствует в каталоге <tex> C_i </tex>. Тогда результатом построения будет таблица, которая представлена на рисунке. Для упрощения рисунка ссылки вправо из неподставных элементов не были отображены, их следует воспринимать как следующий справа от рассматриваемого элемент в ряду таблицы любого цвета.
<br>
Из-за необходимости хранения ссылок будет удобно завести структуру для хранения элементов в модифицированных каталогах:
